HNP確率を上げたい！

素数と出会うのは素数大富豪の醍醐味ですね！（挨拶）

前提

筆者は3桁の素因数分解がほとんど瞬時にできます（1秒とします）。そこで4桁の試し割りは桁数を一つ下げれば計算することができるので（ここにもう1秒）、素数1つにつき2秒、60秒の制限時間では30個ほどの素数で試し割りでき、4桁の素数判定はほぼ確実に制限時間内に完了できるわけです。しかし、桁数が増えると、試し割り法で割る必要のある素数の個数が増えるだけでなく、下げなければならない桁数も増えていくため、伴ってかかる時間も増え（一桁当たり1秒）、制限時間内に試し割りできる素数の個数も減ります。したがって、5桁以上の知らない数については基本的にHNPが必要となります。

この記事では、試し割り法とフェルマー法の併用により、どのようにすれば効率的に素数判定を手計算や暗算で行うことができるかを確率を考慮しつつ議論した上で、60秒などの制限時間内で5~7桁の数に対して実際にどこまでHNP確率を上げられるのかを見ていきたいと思います。

手計算フェルマー法

素数判定や素因数分解のアルゴリズムは多数知られていますが、人間が手計算で使えそうなものは主に、試し割り法とフェルマー法の2つであると思います。このうち試し割り法についてはよく知られているのでフェルマー法について解説します。

フェルマー法とは、因数分解したい数Nに対し、N=a^2-b^2を満たす自然数a,bを見つけることでN=(a+b)(a-b)と因数分解する方法です。具体的にはa=[√N]+1から始め、a^2-Nを計算し、平方数になるかチェックすることをaを大きくしながら繰り返していきます。愚直にはaを1ずつ大きくしていきますが、手計算の範囲での効率化として、Nのmod10やmod9などの剰余を調べることで、ありうるaのmod10やmod9を絞ることができ、平方する必要のあるaの数を減らすことができます。次の表のとおりです。

（Nの剰余→aの剰余）の表

・mod10∧mod4
1→1,5,9/0,4,6
3→3,7/2,8
7→1,9/4,6
9→3,5,7/0,2,8

Nのmod4が1なら/の左側、3なら右側

・mod9
1→1,8
2→0,3,6
4→2,7
5→0,3,6
7→4,5
8→0,3,6

・mod7
1→1,3,4,6
2→2,3,4,5
3→0,2,5
4→1,2,5,6
5→0,3,4
6→0,1,6

・mod11
1→1,2,4,7,9,10
2→0,4,5,6,7
3→1,2,5,6,9,10
4→2,3,4,7,8,9
5→3,4,5,6,7,8
6→0,2,3,8,9
7→0,1,4,7,10
8→0,1,3,8,10
9→1,3,5,6,8,10
10→0,2,5,6,9

・mod13
1→0,1,2,6,7,11,12
2→1,4,5,8,9,12
3→0,2,4,5,8,9,11
4→0,1,2,4,9,11,12
5→1,2,3,10,11,12
6→3,4,6,7,9,10
7→2,4,6,7,9,11
8→2,3,5,8,10,11
9→0,3,5,6,7,8,10
10→0,1,3,6,7,10,12
11→1,5,6,7,8,12
12→0,3,4,5,8,9,10

この剰余による絞り込みは7桁程度の数に対してはかなり有効です。mod9,10だけでも1/10~1/20に絞れ、さらに素数1つで絞るごとに1/2ほどになります。暗算で行う場合は、mod10,9,7あたりは記憶しておくとよいでしょう。

試し割り法とフェルマー法の併用

試し割り法では小さい素数から判定していくのが基本であるのに対して、フェルマー法では√Nに近い大きな素数から判定していくことができます。フェルマー法では√Nにaが近いほど効率よく判定でき、√N<a<(5/4)√Nの範囲を調べるだけで( (1/2)√N,√N)の区間に因数があるかどうか調べられますが、さらに( (1/3)√N,(1/2)√N)の区間を調べるには、aは(5/3)√Nまで計算する必要があります。すべての判定をフェルマー法で行うにはaはN/2ほどまで大きくする必要があり、圧倒的に効率が落ちていることが分かります。従って、試し割り法と組み合わせることでフェルマー法は最大の効果を発揮すると言えます。

限られた時間内に素数判定をして、HNP確率を上げることを考えると、ある素数pで割り切れないことが分かったとき、その数が素数である確率はp/p-1倍になったと考えられるため、始めは試し割りによって小さな素数について判定するのが効率が良いでしょう。しかし、ある程度まで割ってしまうと、素数1つの試し割りによる確率上昇の寄与が小さくなるため、フェルマー法を用いる方が効率よく確率を上げられるようになります。実際にこうなるか、具体的な状況を例に見ていきましょう。

Nが5桁の場合

Nが40000=200^2程度の場合を考えます。試し割り1回に3秒、フェルマー法のa1つあたりの2乗と引き算などの計算に15秒かかるとし、剰余により1/20に絞れたとします。

制限時間60秒では、67まで試し割り、a<1.02√Nまで、HNP確率：84％

制限時間120秒では、127まで試し割り、a<1.1√Nまで、HNP確率：99％

などとなり、ほとんど試し割り法で十分である一方、120秒ある場合など、数回はフェルマー法を使う方が計算が速くできることが分かります。

Nが6桁の場合

Nが360000=600^2程度の場合を考えます。試し割り1回に4秒、フェルマー法のa1つあたりに20秒かかるとし、剰余により1/20に絞れたとします。

制限時間60秒では、43まで試し割り、a<1.006√Nまで、HNP確率：62％

制限時間120秒では、109まで試し割り、a<1.006√Nまで、HNP確率：77％

フェルマー法の計算が重く、ほとんど試し割りという結果になりました。

Nが7桁の場合

Nが4000000=2000^2程度の場合を考えます。試し割り1回に5秒、フェルマー法のa1つあたりに30秒かかるとし、剰余により1/20に絞れたとします。

制限時間60秒では、31まで試し割り、a<1.0016√Nまで、HNP確率：49％

制限時間120秒では、83まで試し割り、a<1.0016√Nまで、HNP確率：60％

今度も同じようにフェルマー法はなかなか使えないという結果になりました。桁が増えるほど、フェルマー法があまり使えなくなるのは、√Nに近い素数の確率上昇の寄与がほとんどないためであると考えられます。十分に時間があり、完全な素数判定を行う場合などには、フェルマー法を用いた方が速いようです。

結論

頑張って試し割りしよう！

挑戦状：63043609を素因数分解せよ

挑戦状：63043609を素因数分解せよ（挨拶）

今回は素因数分解部に投げた挑戦状の解説をしていきたいと思います。自分で解きたい人はブラウザバック！

解法

step1：試し割り

何はともあれ、まずは小さい素数で割ってみましょう。各種倍数判定法や10n±1チェックなどを駆使しつつ気合で割っていくと、63043609は素因数41を持つことが分かります。そこで41で割ってみると1537649となりました。しかしこの後97くらいまで割ってみても他に素因数は見つかりません。1537649をこのまま割っていくのは大変に思えます。他の方法を探してみたいところです。

step2：自明な平方和

では、1537649をじっと眺めてみましょう。何か気づくことはあるでしょうか。そもそも、試し割りを続ける場合、最悪どこまで割ることになるのでしょうか。1537649のルートを考えてみます。すると、1240^2=1537600が非常に近いことが分かり、1537649=1240^2+7^2と平方の和で表せることが分かります。ここで63043609についても振り返ってみると、630436=794^2より、63043609=7940^2+3^2と平方和で表せることが分かります。なんだか意味ありげですが……？

step3：ブラマグプタの恒等式

ブラマグプタの恒等式というものがあります。次のような恒等式のことです。

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2

これを使うと、41=4^2+5^2ですから、(a^2+b^2)(4^2+5^2)=7940^2+3^2となる正整数a,bが存在して、a^2+b^2=1537649が成り立つことが分かります。ではa,bを求めてみましょう。ブラマグプタの恒等式から連立方程式(4a+5b,5a-4b)=(7940,3)を解けばよく、(a,b)=(775,968)となります。これで1537649に２通りの平方和による表示が得られました：

1537649=1240^2+7^2=775^2+968^2

step4：オイラーの分解法

フェルマーのクリスマス定理（二平方和定理）というものがあります*1。

任意の4で割って1余る素数pに対し、自然数の組｛a,b｝がただ一通り存在して、p=a^2+b^2が成り立つ。

この定理によれば、1537649は素数ではないことが分かります。このような時、こちらの記事*2で紹介されているオイラーの分解法*3を用いることができます。

N=a^2+b^2=c^2+d^2と二通りに表示されているとき、(a>c , d>bを仮定)

(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)　とできる。

ここで4数補題などと呼ばれる事実から、自然数k,l,m,nが存在して、

( (a+c),(a-c),(d+b),(d-b) )=(kl,mn,kn,ml)　と表せる*4。

このk,l,m,nを使ってＮを表すと、ブラマグプタの恒等式から

N=(k^2+m^2)(l^2+n^2)/4

となるが、これはＮを因数分解できている！

早速1537649に対して使っていきましょう。

二通りの表示から、(1240+968)(1240-968)=(775+7)(775-7)：2208*272=782*768

∴ (k,l,m,n)=(46,48,16,17)

よって、1537649=(46^2+16^2)(48^2+17^2)/4=593*2593

と素因数分解できた！

以上より挑戦状の答えは、63043609=41*593*2593 となります。

作問背景

こちらの記事のように、一般に2通りの平方の和を半素数に対して見つけるのは大変に思えます*5。そこで、素因数分解部員の力で小さな素数の試し割りをしてもらうことで、2通りの平方和による表示を見つけてもらえるようにすれば、手計算で解ける面白い問題になるのではないかと考え、作問しました。ただ6桁の平方による表示は見つけ難かったこと、たとえ二通りの表示に気付いても、知らないとオイラーの分解法にたどり着くのは難しいこと、そもそも試し割りをしたくない大きさなことなどがあり、ちょうど流行っていたフェルマー法を用いた力業で解き切られてしまいました。

10進表記で二つの平方数が表れるような数を、自明な平方和をもつ数と自分は呼んでいますが、N,pNが共に自明な平方和をもつような半素数Nと300以下の素数ｐをプログラムで探索しました。Nの素因数は500～100000で全探索しました（500以下だと試し割りされてしまい得るため）。そのなかで、最も綺麗だと思った類題を置いておくので、ぜひこの記事の方法で解いてみてください！（試し割り部分は少々大変かもしれませんが楽な方の問題を選びました。）

類題：62500346921を素因数分解せよ

*1:主張はここで書いたものの逆も含むものや、一意性に触れていないものなど、バリエーションがあるようです。

*2:素数大富豪の考案者でもあるせきゅーんさんのサイト、INTEGERSの記事です。

*3:調べたところ、英語のWikipediaの記事を見つけました。Euler's factorization methodをこの記事ではオイラーの分解法と訳すことにします。

*4:最大公約数などを使って構成できる

*5:が、実際はフェルマー法と同じくらい効率的に見つけられるようです！

詰め合成数大富豪を解いてみよう！

みなさん、良い素数・合成数ライフを送っていますか？(挨拶)

この記事ではOTTYさんが合成数大富豪 Advent Calendar 2025 で出題・解答した詰め合成数大富豪(略称：詰め合、詰め素*1 )の問題の内、いくつかについて解説するとともに、基本的な解法を整理していきたいと思います。

5：2445889QQ

11：4578889QQK

12：AA499999TQQ

この3問で、解説したいテクニックは大体尽くせると思います。残りの問題はぜひ楽しみに自分で解いてみてください*2。この3問も自分で解きたいという人にはブラウザバックをお勧めします。

ステップ1：奇数の数に着目しよう！

まず解の形を大まかに予想することを考えます。中には解の形が全く定まらないような難しい詰め合もありますが、パズルとして楽しめるように考えられたものでは、解の形がかなり定まることが多いです。特に、奇数の数に着目すると*3

・奇数が2個以下→2の冪乗を使うことが多い

・5が２つあり奇数がもう一つ→5ばいめーかーが多い

・奇数が3個→p×q=pq型が多い

あたりが重要です。パズルとしてみると、大きな素数の冪乗とかがあると解けないので、このようになりやすいのだと思います。

例として5番：2445889QQをみてみましょう。奇数が9しかなく、p×2^aの形であることが予想されます。また11番：4578889QQKも2や3などの小さい素数がなく、奇数が3個なのでpq型が予想されます。

解の形は、他の方法を併用することで段々と定まっていきます。次のステップに進みましょう。

ステップ2：桁数に着目しよう！

はじめにクイズです。一般にa桁の数とb桁の数をかけると何桁の数になるでしょうか？

答えはa+b桁かa+b-1桁です。これは2数をx×10^(a-1),y×10^(b-1)と置いてみるとすぐ分かり、xy≧10のときa+b桁となることもわかります。xy≧10なることを繰り上がりがある、ということにします。このx,yは大体、2数の最上位の数であることに注意してください。以下、ある数mの桁数を(m)、で表します。

では11番：4578889QQKを例に考えてみましょう。p×q=nという形が予想されるのでした。まず(p)+(q)+(n)は与えられた手札から13と分かります。ところが(n)=(p)+(q)または(n)=(p)+(q)-1だったので、(n)=6がわかり、さらに(p)+(q)=7です。しかも、繰り上がりがないです。ここから、この手札ではp,qのいずれかはQやK始まりであることもわかるのです。

ステップ3：mod10に着目しよう！

下一桁は定まりやすいです。詰め合には絵札があるため、場合によっては下二桁も定まることがあるでしょう。特にpq型では有効な手法です。また11番：4578889QQKを例に考えてみましょう。下一桁からは9×K=7,7×9=Kのいずれかであることがわかります。さらに、9×K=7の場合にmod100を考えると、49×K=37,59×K=67,89×K=57,Q9×K=77のうち、あり得るのは89×K=57のみであることも分かります。

ステップ4：mod3に着目しよう！

mod3やmod9を考えるのは、10進法での詰め合において有効です。特にpq型など冪乗を含まない形では考えやすいです。p,qが3でない時、p×q=nという(p,q,n)の組みに対して、mod3の組み合わせとしてあり得るのは、(1,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,2)の4通りであり、p,q,nの合計は0か2であることが分かります。この合計の値は手札から知ることができ、手札のmod3と呼んでいます。

再び11番：4578889QQKを例に考えてみましょう。手札のmod3は4+5+7+8+8+8+9+Q+Q+K=86=2です。よって(p,q,n)は(1,2,2)または(2,1,2)という組みであることがわかりました。さらに手札のmod9も考えてみましょう。これは5であることがわかるので、(p,q,n)のmod9は(1,2,2),(4,2,8),(7,2,5)の3通り(p,qは入れ替え可能)のみとわかります。

さらに12番：AA499999TQQについても考えてみましょう。手札のmod9は4,mod3は1とわかります。すると上記のことからpq型ではないとわかり、pqr型が予想されます。p×q×r=nなる(p,q,r,n)のmod3の組みは(1,1,1,1)(1,1,2,2),(1,2,2,1),(2,2,2,2)しかないため、この場合(1,1,1,1)のみが適しているとわかります。すると、mod9の組みは(1,1,1,1),(4,4,4,1),(7,7,7,1),(1,4,7,1)のみであることもわかります。*4

このようにmod3でまず考え、その結果を使ってさらに情報を得たい時にmod9を考えると良いでしょう。pqrs型のmod3,9の考察は演習問題とします。

例題3つを解いてみよう！

今までの内容を総合して考えていくことで、3つの例題を全て解くことができます。以下に思考例を書いていきます。(以下常体)

5：2445889QQ

p×2^a型が予想されるのだった。a=1すなわちにばいめーかーができないことはQを使う因子が存在しないためすぐに分かる。pの下一桁は９しかなく、特にa≠9である。

a=8のとき：256×p=nの桁数を考えてみると手札から、(p)+(n)=9で、(n)=(p)+3より(p)=3,(n)=6。3桁の素数は449,859しかないが、2,8を除いた手札のmod3は0で(256,p,n)のmod3は(1,1,1)しかないから449は不適。*5859も最上位の数を考えると(概算すると)nが2始まりになり不適。

a=Qのとき：4096×p=nの桁数を考えて(p)=2,(n)=6,繰り上がりあり。2桁の素数は59,89のみであり、nの最上位の数を考えていずれも不適。

a=4のとき：16×p=nの桁数を考えて(p)=4,(n)=5,繰り上がりなし。4はnの下一桁なので、pの最上位は５かQしかない。Qはnの最上位を考えて不適。するとpは5889,5Q9のいずれかだが、5889は3の倍数で不適。5Q9は23の倍数で不適*6。

a=5のとき：32×p=nの桁数を考えて(p)=4,(n)=5,繰り上がりなし。よってpはQ始まりで、素数はQ49,Q89しかない。概算で、32×1250=40000よりQ49は不適。Q89は2^5×Q89=4Q48で適することがわかる。

11：4578889QQK

pq型が予想されるのだった。まず下二桁が89×K=57の場合について考える。(p)+(q)=7かつ繰り上がりなしであったから、pもqもKでなければ、p,qの最上位は4,Qの組みしかないが、489,4Kは共に素数でなく不適。よってp=Kとできるが、qの先頭桁が何であってもnの先頭桁に適するものがないとわかる。

以上より下一桁は7×9=Kである。さらにmod100を考えると07×59=Kしかないことがわかり、とくにp=7とできる。ステップ2からqはQ始まりの6桁の数であり、ステップ4からqのmod9は2とわかる。よってあり得るのはQQ59,Q4859,Q8459しかなく、概算すればQQ59のみが適し*7、7×QQ59=8488Kとなることがわかる。

12：AA499999TQQ

pqr型が予想されるのだった。pq型の応用でpqr=nの桁数を考えると、(n)=(p)+(q)+(r)-0or1or2であるから、(n)=(p)+(q)+(r)=7で繰り上がり2、または(n)=6,(p)+(q)+(r)=8で繰り上がり0とわかる。

前者について、一桁の素数が無いことから、(p)=(q)=2,(r)=3としてよい。二桁の素数は11,19,41しかなく、(p,q)=(19,19),(19,41)となるが、いずれも繰り上がり2に矛盾する。

後者について、( (p),(q),(r) )=(2,2,4),(2,3,3)である。(2,2,4)のときやはりp=q=19であり、繰り上がり0からrの最上位はTまたはQである。しかし最上位Tだとr<1100よりnの最上位が3で不適。よってr=Q49しかないが、これはステップ4のmod9に矛盾する。ゆえに( (p),(q),(r) )=(2,3,3)である。

p=11はmod10が1×9×9=9となって不適。p=41のとき、繰り上がり0からnの最上位は9となるしかなく、Q始まりの3桁素数はないから、q,rのいずれかは19始まりすなわち199となる。しかしまたmod10が1×9×9=9となり不適。よってp=19であり、mod10は9×9×9=9であることも分かる。

ここでq,rとしてあり得る3桁の素数はT9,199,919,149,419,499の6個のみで、nの最上位と繰り上がり0を考慮すると(q,r)=(T9,199),(T9,419)のいずれかであり、さらにステップ4のmod3から(T9,199)に絞られることがわかる。よって、あり得る解は19×T9×199=4QQ9のみとなり、実際にこの等式が成立していることが確かめられる。

まとめ

紹介した方法を組み合わせることで、無事に3つの例題を解くことができました。このように、桁数やいくつかのmodなどの簡単な情報から、かなり解を絞っていくことができます。特にpq型について有効であることがわかっていただけたと思います。ぜひこの記事の方法を組み合わせてさまざまな詰め合成数パズルを解いてみてください。

ちなみに詰め合成数大富豪スケルトン(詰合大助)では解の形が始めから分かっているので、よりこの記事の方法が有効に働きます*8。まずはこのパズルから解いてみるのもお勧めです。

OTTYさんによる詰め合成数大富豪スケルトン

その2

(注意)少なくとも1時間くらいはかかるので十分時間のある時に解きましょう。

*1:つめご、つめそ。後者は詰め素因数分解の略です。

*2:解答は作者のOTTYさんによって挙げられている他、さしみさんによる解いてみた記事もあります。なお、他の問題にはnばいめーかーの考え方が有効なものもあり、nばいめーかーについてはこちらの記事でも解説しています。

*3:5はちょっと特殊な振る舞いをするので偶数とします。

*4:p,q,rはやはり入れ替え可能。

*5:筆算をしても良い。あるいはnの下一桁が4となるので4が足りない。

*6:筆算しても良い。

*7:Q4859は7の倍数であることからも除外できる。

*8:例えば桁数を調べるだけで各素因数に使う絵札の枚数が分かったりする。

生成AIに頼んで6枚11,12桁合成数全探索

この記事は素数大富豪 Advent Calendar 2025の23日目の記事です。昨日は素数大富豪普及協会さんによる、素数大富豪ランチ会が累計参加者1000人を突破した話でした。ランチ会、もう2年も続いていてすごいですよね〜。7日の記事で触れた素数暗記会もランチ会みたいになったら良いと思っていましたが、なかなか継続は大変でした。

はじめに

6枚出しというものがあります。*1相全出し後、24枚ずつになった手札で、6枚→6枚切り札→残り12枚くらい、とできれば綺麗に上がることができます。しかし、この場合に使える切り札はKKKQQJぐらいのもので、これがない時に絵札が6〜8枚ぐらいしかなければ大抵絵札不利と言ってよく、先手でも再度全出しするくらいしかできないことがよくあります。*2

そんな時に、6枚12桁合成数を知っていれば、6枚素数→6枚12桁合成数*3、という2手での組み切りが可能となるかもしれません。この組み切りができれば、相手は最初の6枚素数に6枚12桁の強い素数を返すくらいしかなく、優位に立つことができます。*4

このような戦術は2年くらい前から考えられていましたが*5、肝心の6枚12桁合成数で使いやすいものを探すのが大変です。自分はプログラミングも得意でないので、探索は諦めていました。

ところが、最近便利になってきた生成AIを使うことで、合成数探索ができるのではないかと思い、やってみたらかなり上手く行きました！

その結果を以下書いていきます。*6

2026/10追記：さしみさんによる素数大富豪小説「素数大富豪千年史」に影響されて、6枚11桁合成数までも調べてみました。

探索結果

・17〜19枚消費

・全ての数(1〜K)の被りは2枚以下

・0は使わない

この条件で探索するPythonプログラムを書いてくださいとGeminiにお願いしたら、ちゃんと1,2とQなどの区別もして探索できるようにしてくれました。Google Colabで実行した結果は次の通りです。

・18枚消費

kqjqkj = 3^2*4691*3t7869

kqtqjk = t3*1273884671

kjqqtk = 61*223*9638471

ktjtkj = 827*158417293

qkqttk = 29*4183175897

qkjtqk = 83399*1454587

qqtkjt = 2*5*43313*279847

qqtkjk = 3*463*87264299

qjktqj = 3*6287*6421351

qjjktk = 29*4176245897

qjtjkk = 47*101*25512979

qtjtqk = 19*67*113*841237

jkjtqk = 19*5858427427

jqttkj = 683*162825917

jtqjkt = 2*5*2689*4128379

jtqtqk = 13*31*275464271

tkqtjj = 13*29411*264977

tqtkkj = 3*54287*621451

tqtkqk = 22573*4483681

tjkkqj = 101*349*2868539

tjkjkq = 2^4*6319569457

・19枚消費

kkqjtt = 2*3*5*127*34465121

kqkqjj = 3^2*14579235679

kjkjtt = 2*5*7*3823*489941

kjqkqt = 2*5*577*911*24943

kjqqtt = 2*5*13*41*24598897

kjjqtk = 557*12763*18443

kttjqq = 2^2*44753*731851

qktjjt = 2*5*19*4789*133321

qktjtq = 2^2*56477*536989

qqjktt = 2*5*17*631*1129963

qjkkqt = 2*5*41*295397881

qjqktj = 3*136447*295871

qtjkqt = 2*5*21487*563183

jqtqtj = 3*11*29*293*613*647

jjkqtq = 2*5*941*2857*4133

jtkqtq = 3*17*661*1297*2539

tqkjqj = 3*269*125418973

・17枚消費

kqjtqj = 3*1013*43175749

ktqqjk = 157*834472109

ktjjqk = 7121*18397853

qkktqj = 47*2581129813

qjktqj = 3*6287*6421351

qjjtqk = 3*73^2*131*57829

qjtjkk = 47*101*25512979

qtktkq = 2^8*6317*74831

qtqjkk = 17*7118359489

jqktqk = 43*2586351191

jtqkqj = 3*8623*4291319

jtqjtk = 1693*65571241

tktqjj = 227*461*968113

18枚消費のものは、24枚からドロー→57→ドローで2回使うチャンスがあるので、1番上にしています。

使う絵札の枚数を指定できるようなプログラムにもできたので、素因数部分に絵札を使わないものを探索すると次のようになりました。代わりに各絵札は3枚被りまでを許容しています。こちらは18枚消費のもののみ調べました。

kjqqtk = 61*223*9638471

ktjtkj = 827*158417293

qkqttk = 29*4183175897

qkjtqk = 83399*1454587

qqkkqt = 2*3^5*5*49881947

qqtjkj = 3*463*87264299

qqttqk = 3*6827*5918173

qjkjtj = 43*2816583977

qjktqj = 3*6287*6421351

qjqtkq = 2^6*1892376583

qjjktk = 29*4176245897

qjtkjj = 43*2816514677

qtjqjj = 192187*629653

jktqjk = 19*5858427427

jqttkj = 683*162825917

jjkqjk = 189149*587437

jjqkjk = 29*3831452797

jjqttj = 29*3831451759

jtqqkq = 2^5*3469128791

tqtkkj = 3*54287*621451

tqtkqk = 22573*4483681

tjkjkq = 2^4*6319569457

tjjqjk = 463*218382551

tjttjk = 7*43969*328511

ttqqtk = 1721*58693853

ttqtkq = 2^6*53*29779511

というわけで、全探索をすることができました。すごい。ここから厳選して、どれを覚えるかは自分で決めないといけませんが……表があるだけで今までより格段に楽です。

2026/10 追記：さらに以下の条件で6枚11桁合成数までを全探索しました。なんと4000個ほどあります。膨大すぎて到底使いこなせませんね......！*7

・17〜19枚消費

・全ての数(1〜K)の被りは3枚以下、Kのみ2枚以下

・0は使わない

・17枚消費

kkjqjj = 41 × 77617 × 4q63
kqjjjk = 73 × 17974q481
kqjtqj = 3 × tk × 43175749
kqjtjj = t7 × q26271973
kqtkjj = t156369 × q919
kqtqqk = 3^3 × 4859634j9
kqtqjk = t3 × q73884671
kjqttj = q7717 × t26583
kjqttt = 2 × 3 × 5 × j × 17^4 × 67 × 71
kjtqqk = j423 × j477731
ktkqjj = 17^2 × 23 × 197tj3
ktkqtj = 3 × 47 × 92917t71
ktkjtj = 83 × 157847q17
ktqqjk = 157 × 834472t9
ktjqjk = t1 × q97139813
ktjqjj = k × 7841 × q85267
ktjjqk = 7q1 × 18397853
kttqqk = t1 × 1297q9913
kttqjj = 2377 × 55j5743
kttjqj = 7^4 × 7 × 211 × 36943
kttjqj = 7^3 × 7^2 × 2j × 36943
kttjqj = 7^3 × 7 × 7 × 2j × 36943
qkktqj = 47 × 2581q9813
qkktqj = 47 × 258j29813
qkqkjj = 3^6 × 3 × 55469653
qkqttj = 31 × 71 × t1 × 5457j
qkjqkq = 2^5 × 9j × 4161331
qkjtkj = 577 × 2t244543
qktqkj = 953 × q7292887
qktqqj = 17 × 373 × 19kt71
qqkqtj = t1 × 6247 × 1921k
qqkqtj = t1 × 6247 × 192j3
qqjkjj = 7 × q3829 × k9837
qqjtjj = k1 × 925275581
qqtkqj = k × 9323856247
qqttkj = k × 9323853947
qjktqj = 3 × 6287 × 642k51
qjqkqk = 43 × 281656j91
qjqjqk = 29 × 5347 × 78t51
qjjqkq = 2^5 × 157 × 24t65k
qjjtqk = 3 × 73^2 × k1 × 57829
qjtqjq = 2^3 × 15k8765k9
qjtjkk = 47 × t1 × 255q979
qtktkq = 2^8 × 6317 × 74831
qtqkkt = 2 × 5 × 7 × 2j × 8193t3
qtqkqj = 419 × 2888j769
qtqjkk = 17 × 7j8359489
qtqjqj = 17 × 7j8359483
qtqtqj = 863 × k81 × t1537
qtjqtk = 89^2 × 311 × 49123
qtjqtk = 89 × 89 × 311 × 49q3
qtjqtk = 89 × 89 × 3j × 49123
qtjjkk = 43 × 28142j891
qtjtqk = 19 × 67 × 1k × 84q37
qtjtqk = 19 × 67 × j3 × 84q37
qtttqk = 6793 × 178k941
jkkttj = 7^2 × 59 × t1 × 38q21
jkkttj = 7 × 7 × 59 × t1 × 38q21
jkqtkj = 1471 × 7567t41
jqkqtk = 155q41 × 71693
jqktqk = 43 × 258635j91
jqqkqk = j4827 × 968519
jjktkq = 2^13 × 83 × 163417
jjktkq = 2^q × 2 × 83 × 163417
jjqkqk = 3^3 × 4115264j9
jjqktk = 13 × 821 × t4t581
jjqjtk = 829 × 8311 × 16q7
jjttqk = 71 × 73 × 214374j
jtktqj = 31 × 358t67781
jtqkqk = 89 × q47327317
jtqkqj = 3 × 8623 × 429k19
jtqjtk = 1693 × 6557q41
jtqtkj = j87 × 93523253
jtjqtk = k × j3 × 75569177
jtjjqt = 2 × 5 × 8q3 × k66627
jtjtkq = 2^7 × 461 × 188q89
jttqtj = k163 × 8433497
jtttqq = 2^2 × 89 × 3j826q7
tkqtjk = 3 × 3j × t8587461
tkqtjj = k × 294j × 264977
tktqjj = 227 × 461 × 9681k
tktqjj = 227 × 461 × 968j3
tktjtj = 8822617 × j483
tqqqjk = 97 × t43423929
tqqjkk = 19 × j3 × 4714j79
tqjktj = 23 × 41 × 83 × q93j9
tqtktj = 3 × j × 43 × 7k24969
tqttkk = 83 × 12193988j
tqttkk = 83 × q19398811
tjktkq = 2^t × 3 × 32914421
tjktjq = 2^3 × q639k7639
tjqjkq = 2^4 × 3 × 29^3 × 86371
tjttjk = 7 × 43969 × 3285j
ttkjqj = 6k × 164784847
ttqtkq = 2^6 × 53 × 297795j
ttqtjj = j87 × 48k × 17681
ttjkqk = 3 × 19 × 1772q5t9
ttjktj = 7 × 31 × 717k × 6491
ttjqkq = 2^5 × t1 × 3q53441
ttjqjk = 7 × 89 × 162k6631
tttjkk = 787 × q8348299
tttjjk = 2k7 × 47267249
9kqqqj = 3 × 577 × 5275t81
9kjqkq = 2^5 × 27947 × t2t3
9kjqqj = 47 × 2683 × 7241j
9kjtqk = j7163 × 779351
9ktqkj = 123q7 × 741593
9ktqjk = 89 × t25956417
9kttjk = 3 × 7 × j × 857 × 46q39
9kttjq = 2^3 × j4k762639
9qkqkq = 2^5 × 31 × 919487j
9qkjjk = 3 × 31 × 89^2 × q3821
9qktkj = t7563 × 847997
9qqkqt = 2 × 5 × 1j7 × 81658k
9qqqtk = k × j71 × 5991731
9qqjtt = 2 × 5 × 8q3 × j22887
9qjktk = t289 × 8864917
9qtkjj = 3 × j × 61 × 453t547
9qtqtk = 3 × j^2 × 25q67551
9qtqtk = 3 × j × j × 25q67551
9qtjtt = 2 × 5 × 2753 × 33kj7
9jkkqt = 2 × 5 × t1 × q7 × 7t323
9jkqqj = 7 × t1 × q8872873
9jkjqj = 564997 × 16q63
9jktqj = 3 × j × 67 × 997 × 4k33
9jqkqk = 19 × 389 × 24j × 5j3
9jqqjk = k^2 × 1723 × 3q899
9jqjqk = 63k1 × 1443223
9jqjjk = 691 × k1855443
9jqtkj = 3 × 7^2 × j × 43 × kt381
9jqtkj = 3 × 7 × 7 × j × 43 × kt381
9jqtqj = 41^2 × 647 × 83773
9jjktj = 353 × 258t5187
9jjqjk = 29 × 31 × tk47187
9jjjkk = 743 × q2625991
9jjtjk = k61 × 66944233
9jtkjj = 29^2 × t8335471
9jtqjq = 2^3 × 1k88765k9
9jtqjq = 2^3 × j388765k9
9jtjtq = 2^2 × 3^3 × 8436qk9
9tkqkj = 7^3 × t3 × 2576159
9tkjjj = k^2 × 538539119
9tktjj = 61 × t9 × k688239
9tqktj = t9 × 48k × 173483
9tqqqk = k × 17 × 4j819553
9tqqtj = 7 × t33 × q586381
9tqjqk = 6829 × k327297
9tqjjj = 29 × t1 × 3t72759
9tqtjk = 43^2 × 4759 × t343
9tjkqj = 3 × 7 × j × k × 37 × 819t1
9tjqtk = 181 × 521 × 965j3
9tjtqj = 3^2 × t1q344579
9tjtqj = 3^2 × tj2344579
9tjtqj = 3 × 3 × t1q344579
9tjtqj = 3 × 3 × tj2344579
9tttjj = 8117 × j212283
8kktqj = 41 × 233 × 85j787
8kqkjj = 38287 × 2q3753
8kqqqj = 9941 × 8179471
8kqjjk = 1229 × 6616j97
8kqjjk = q29 × 66161197
8kqttj = 3j × 4721 × 55381
8kjjtj = k × 2531 × 247q37
8kjtkj = 3 × j × 523 × 471q29
8qkkjj = 7^3 × 7 × 33824711
8qkkjj = 7^2 × 7^2 × 338247j
8qkqqk = 7^2 × 16574t637
8qktkq = 2^8 × 7 × t1 × 563 × 797
8qktqk = 67 × 12q135839
8qktjk = 195q53 × 41621
8qqqkk = 4733j × 171583
8qqqkj = 61 × 133k46251
8qjktj = 67 × 1212t6433
8qjqjk = t9 × 223 × 334t59
8qjqtj = 31 × 26197k581
8qjtkq = 2^7 × 3 × j × 192261k
8qjtkq = 2^7 × 3 × j × 19226j3
8qjtjq = 2^3 × t15k87639
8qjttj = 151 × 7547 × 7q63
8qtqjq = 2^3 × t151265k9
8qtjkj = 7 × q241 × 947753
8jkkjj = 1327 × 61q5193
8jkjjk = 61 × t7 × q427319
8jqqkj = k × 6239393947
8jqqjk = 127 × 638678j9
8jqqjk = q7 × 638678119
8jqjkk = 71 × 1142424t3
8jqjtk = 139 × j81 × 494t7
8jqjtk = k9 × 1181 × 494t7
8jqttk = 2q47 × 3817579
8jjtkk = 3 × j × 24579q161
8jjtkq = 2^7 × 29 × 2185t51
8jjtqj = 3^2 × 7 × 181 × 71kk7
8jjtqj = 3 × 3 × 7 × 181 × 71kk7
8jjtqt = 2 × 5 × t1 × 6317 × q7k
8jtkqk = 17 × 477j84189
8jtkjq = 2^3 × tk8766389
8jtqtj = 1481 × 54767k1
8jtjkq = 2^4 × 863 × 5874k9
8jtjtj = 61 × k29673951
8jttjj = k × 6239238547
8jtttk = 23 × 3526526k1
8tkkqj = 3359 × 24j8229
8tkkjq = 2^3 × tq6641389
8tkqqk = 79 × t25482547
8tkqqj = 3 × j × t1 × 3j9 × 7793
8tqqjq = 2^3 × k × 19 × 67^2 × 9k3
8tqjtj = k × t993 × 566879
8tjkqj = t3 × 786515837
8tjkjq = 2^3 × t12639k89
8tjkjq = 2^3 × tq6391389
8tjkjq = 2^2 × 2 × tq639k89
8tjjtk = 3^4 × 7 × 449 × 3182j
8tjjtj = 983 × 82412117
8tjtkq = 2^7 × t1 × 6266329
8ttjkq = 2^4 × k × 397 × 98t37
7kkqqt = 2 × 5 × 61417 × j6j3
7kqqtj = 149 × 4549 × t52j
7kqtqk = t41311 × 68483
7kqttt = 2 × 5 × 635977 × 1qk
7kqttt = 2 × 5 × 635977 × j2k
7kjkqj = 13931 × 5j8881
7ktktj = 7 × 239 × 42624t7
7ktqjq = 2^3 × 8913765k9
7qktqj = 7 × 293 × 3472j61
7qqqkj = t891 × 6538621
7qqqtj = 19 × 73 × 5k42553
7qqjqk = 18j × 39321983
7qqjtk = 37 × 15359 × q53j
7qqtjk = 1t533 × 644261
7qqtjj = 3^2 × 79q455679
7qqtjj = 3 × 3 × 79q455679
7qqtjt = 2 × 5 × 87539 × 8k49
7qjkkj = 8269 × 8611819
7qjjqj = 29 × 41 × t13 × 59q3
7qjjqj = 29 × 41 × tk × 59123
7qjtkk = 3 × j × 21579q161
7qjtkq = 2^7 × 13 × 42795k3
7qjtqj = 3^3 × 47 × 56j5919
7qtjqj = 3^2 × 79q234579
7qtjqj = 3 × 3 × 79q234579
7jkqkj = 17 × 4183q4783
7jqqqk = 7 × t158874459
7jqjtk = q49 × 56935237
7jjkqj = 83 × 9127 × 93871
7jjtkj = 3^5 × 292638277
7jtkjq = 2^3 × 1jk × 799853
7jtktk = 67 × t61345239
7jtjkk = 61547 × j55379
7jttkk = 47 × 389 × 38894j
7jttkj = 29 × 269 × 91155j
7jttqj = 2647 × 268644k
7tqktk = 1583 × 448592j
7tqqkk = 7 × t3 × 98491153
7tqjqj = 3^4 × 883 × 992857
7tqjjk = 661 × 187k × 5741
7tqtjj = 7 × 23 × 44t68951
7tjkjt = 2 × 5 × 47 × 15t875k
7tjktj = 1723 × 412k657
7tjktj = 1723 × 4q13657
7tjqqj = 3^2 × 5j9 × 154k41
7tjqqj = 3 × 3 × 5j9 × 154k41
7tjtkq = 2^7 × 3^2 × 47 × kj523
7tjtkq = 2^7 × 3 × 3 × 47 × kj523
7ttjqj = k × 5462316247
7tttjj = 827 × 85864693
6kqqjj = 288877 × 2q243
6kjqkq = 2^5 × 7 × 2737t363
6kjqjk = 3 × j × 18579q761
6kjtkq = 2^7 × t9 × 4394431
6kjtjk = 2347 × 26q3179
6ktqkj = 683 × 137j × 6547
6ktjqj = 3^2 × 68q234579
6ktjqj = 3 × 3 × 68q234579
6qkkqj = 283 × 5531 × 39t7
6qkktj = 61 × t31 × 973321
6qkjkj = 3 × j × 223 × 8318q9
6qktkq = 2^8 × 3 × j × 7245869
6qqkqk = t39 × 58914467
6qqktk = 3 × j × 17 × t91q533
6qqktk = 3 × j × 17 × t9j2533
6qqqkk = 7 × 8744588759
6qqjjt = 2 × 5 × 71 × 73 × j8t17
6qqtkk = 3 × j × 18549q161
6qqtjj = 7 × 8744585873
6qjkqt = 2 × 5 × j717 × 5224k
6qjktk = 89 × 687765517
6qjktt = 2 × 5 × 977 × 62652k
6qjqkj = 211 × 5683 × 5t47
6qjjqj = 3^5 × 3 × 83965859
6qjtqt = 2 × 5 × 7 × 9j × 959873
6qtqkt = 2 × 3^4 × 5 × k × 58q927
6qtjjk = 3^2 × 641 × t6t177
6qtjjk = 3 × 3 × 641 × t6t177
6qttkk = 71 × 797 × t81699
6qttqj = 7^2 × k1 × 9535769
6qttqj = 7 × 7 × k1 × 9535769
6qttjk = 7^2 × q49185737
6qtttj = 17j7 × 3575983
6jkqqk = 1297 × 47j8829
6jkqqk = q97 × 47118829
6jkqjk = 3 × j × 18519q761
6jkqtq = 2^2 × 48953 × 3qt1
6jkjkj = 7 × t7 × 81592939
6jkjjq = 2^3 × 7639k8889
6jktqt = 2 × 5 × 7 × 73 × t1 × j84j
6jqqkj = k9 × 439655549
6jqqjj = 3^4 × 61 × q17 × t163
6jqjkj = 197 × 3t213763
6jqjjt = 2 × 5 × t93 × 559q27
6jqjtj = 7^2 × 97 × k7 × 93851
6jqtkq = 2^6 × 954876583
6jqtqt = 2 × 5 × 9817 × 6225k
6jjktk = 73 × 837138781
6jjqqk = 947 × 64531279
6jjjqk = 29 × 2t7279697
6jjttk = 53927 × 1k3219
6jjttk = 53927 × j33219
6jjttt = 2 × 5 × 73 × 837k837
6jtkjj = q29 × 49723459
6jtqtk = 1549 × 3945k37
6jtjqj = 23^2 × 43 × 26865k
6jttkq = 2^6 × k × 73449641
6tkkjj = 89 × 8237 × 83227
6tkktj = 3^4 × 7^2 × 3j × 49429
6tkktj = 3^4 × 7 × 7 × 3j × 49429
6tkqqj = 7^2 × q45165739
6tkqqj = 7 × 7 × q45165739
6tkjtj = 19 × 23 × k9618t3
6tktqj = 73^2 × t1 × 113359
6tktqj = 73 × 73 × t1 × 1k359
6tqqjk = 73 × 835782481
6tqjkj = 3^2 × 6779q3479
6tqjkj = 3 × 3 × 6779q3479
6tqjtq = 2^2 × k7 × jk35969
6tqtkk = 19 × 321j63227
6tqtjk = 157 × 388612t9
6tjktk = 3^3 × 7 × 3228t217
6tjqqk = 7 × t9 × 79962151
6tjqtk = 73 × 97 × 8616173
6tjjkk = 97 × q13 × 518533
6tjjjq = 2^3 × 7 × t89484q7
6tjtkk = 3^5 × 3 × 83691497
6tjtjj = 23747 × 25692k
6ttkqj = 3k × 1t87 × 17581
6ttqkk = 827 × 929 × 79411
6ttqqk = 3^4 × 5653 × k3241
6ttjkq = 2^4 × 3813k1957
6ttjtk = 3 × 43 × 9769 × 484k
6tttkq = 2^6 × 953282833
6tttjj = 4993 × 12219q7
5kkqjj = 7 × t9 × 641 × t4917
5kqktj = 293 × 175q6727
5kqqkj = 3 × j × 15549q767
5kqqjk = 3 × j × 15549q761
5kqqjj = k1 × 391695581
5kqjqk = 3 × j × 15549q461
5kqjtk = 883 × 2749 × 2j39
5kqjtj = 7^2 × 7q9 × 146891
5kqjtj = 7 × 7 × 7q9 × 146891
5kjkqj = 31 × 3571 × 4635j
5kjqjj = 3^5 × 211156877
5ktqqk = 13 × t9 × 42j × 8599
5qkktj = 7^2 × t45165939
5qkktj = 7 × 7 × t45165939
5qkjqk = 3 × j^2 × t9 × q94339
5qkjtj = 1447 × 353926k
5qkttk = 3^3 × 61 × 3t94779
5qqktj = 3^4 × 632248531
5qqqkj = k × 145349 × 27t3
5qqttj = 3 × 1775j × 96167
5qjkqk = 3 × j × 2j × 7354751
5qjkjq = 2^3 × 73 × 863 × t16j
5qjktj = 217k × 2358547
5qjjqj = k × 3939316247
5qjttj = 7 × 83 × 4787 × 184k
5qtkkj = 19 × 37 × 3467 × 2tj
5qtktj = k × 53 × 74325299
5qtjjk = 7 × 6563 × 1j4693
5qtjtj = 14947 × 34261k
5qtjtj = 14947 × 3426j3
5qttkj = 571 × 89684941
5qttjj = k × 2j × 18669377
5jkkjt = 2 × 3^4 × 5 × 63t2631
5jkqkj = 7 × 1t9 × 6584197
5jkqtj = 37 × 47^2 × 625367
5jktkq = 2^j × 7 × 13 × 274259
5jktjj = 619 × 2213 × 373k
5jkttj = 3 × 7 × 421 × 578k71
5jqqjj = 38239 × k36649
5jqjtk = 79 × 646988747
5jqjtj = 3 × 13 × kt566949
5jjkqk = 439 × j6426267
5jjqqk = 61 × 837887233
5jjjqk = 3^5 × 31 × 6784961
5jjtkj = 821 × 62254691
5jjttj = 29 × 77t1 × 22859
5jtkqk = 71 × 6793 × t5971
5jtqkq = 2^5 × 3^4 × 197184j
5jtqkt = 2 × 5 × 37 × t3 × k41q1
5jtqkt = 2 × 5 × 37 × t3 × k4j21
5jtqjk = 691 × 73965443
5jtjqj = 3 × 97 × 175636q1
5jttkq = 2^6 × 798595333
5jttkj = 3 × 67 × 2542791j
5jttqj = k × 3931546247
5tkttj = 42751 × j93261
5tqqjj = 7 × 29 × 25129q37
5tqqtk = 7 × 7287445859
5tqqtj = 3 × 89 × 19t56633
5tqjkj = 7 × 71 × k81 × 74323
5tqjjt = 2 × 5 × 421 × qj6891
5tqjtk = 739 × 2q9 × 32423
5tqttk = 3 × 189j × 899161
5tqttj = 61 × 836263951
5tjktk = 6229 × 8189297
5tjqjk = 23 × 37 × 73 × 821k1
5tjjkj = 5233 × 9747967
5tjjqj = 3 × q7 × k3887431
5tjtjj = 43 × 73 × 73 × 2226k
5ttqkj = 4177 × 122q143
5ttqjk = 7 × 1k × 64488143
5ttqjk = 7 × j3 × 64488143
5ttqjj = 569 × 89648719
5ttqtj = j681 × 4366931
5ttjkk = 7 × 61 × j9461619
5ttjqk = 89 × 127 × 45q971
5ttjqj = 257 × 4793 × 414j
4kqqtk = 29 × 1j7 × q75341
4kqqtt = 2 × 5 × 577 × 71598k
4kqjjj = 17 × 5387 × 451t9
4kqjtj = 41761 × 989251
4kjqkj = 3733 × 1t66467
4kjqqk = q7 × 325284419
4kjjqj = 47 × 878959813
4ktqkj = 3^3 × 17977 × 85t9
4ktjqk = 3^4 × 7 × 72857339
4kttqk = 59 × 419 × 167t53
4kttqj = 3 × 23 × 598697j9
4kttjk = 15761 × 262t33
4qkqtk = 9311 × 4426283
4qkqtt = 2 × 5 × 491 × 83937j
4qkjqt = 2 × 5 × 331 × q45t91
4qkjtk = 3^3 × 15264j519
4qktkq = 2^8 × 47 × 3425291
4qktjj = 7 × 13 × 45289q21
4qktjj = 7 × k × 452891221
4qkttj = 3 × 23 × 59729k19
4qqkqj = 88969 × 463219
4qqkjj = 3^2 × 4579q5679
4qqkjj = 3 × 3 × 4579q5679
4qqqkj = 73 × 857 × 658751
4qqqjj = 7 × 5887445873
4qqqtj = k81 × 29842231
4qqjkk = 67 × q329 × 49891
4qqjtj = 3 × 1k × q1569649
4qqjtj = 3 × j3 × q1569649
4qqtkt = 2 × 5 × 918k × 44887
4qqtqk = 3^4 × 89 × 5716757
4qqtqj = 373 × 811 × k6237
4qqtjk = 593 × 69497641
4qqttj = 47 × 14831 × 59q3
4qjqqj = 13 × 61 × 73 × 7j899
4qjqqj = k × 61 × 73 × 711899
4qjjjk = 29 × 83 × 1712k59
4qjjjk = 29 × 83 × 17q1359
4qjjtt = 2 × 5 × 887 × 4646q3
4qjtkj = 29 × 142t72459
4qjtjk = 7 × k × 452869243
4qtkjt = 2 × 3 × 5 × k7367t37
4qtktq = 2^2 × 79 × k7 × 9519j
4qtqkj = 17 × 9491 × 2554k
4qtqqj = 7 × 571 × j23 × 9181
4qtjjk = 31 × 9787 × k5829
4qtjtk = 3 × 2j × 733 × 88817
4jkktj = 37 × 59 × 27j × 6947
4jkjtk = 13 × t19 × 3t3579
4jktqk = 3^2 × 4568q2357
4jktqk = 3 × 3 × 4568q2357
4jktjq = 2^3 × 5139k7639
4jqkjk = 75617 × 543689
4jqtjk = 17 × 53 × 456294k
4jjkqk = 31^2 × 53 × 73 × 1t57
4jjkqj = 26274k × 15647
4jjkjq = 2^3 × 513889k89
4jjqqk = 3^3 × 1522634j9
4jjqtj = t37557 × 39623
4jjqtt = 2 × 5 × 691 × 59495j
4jjjqt = 2 × 5 × k × k9 × 2275t3
4jjtkq = 2^7 × 421 × 762899
4jjtkj = 3 × 7 × 77t1 × 25391
4jtkkt = 2 × 5 × 37 × 1jt8463
4jtqkk = 3^2 × 456779q57
4jtqkk = 3 × 3 × 456779q57
4jtqqk = 7 × 5872874459
4jtqjk = k9 × 295756267
4jtqtj = 4259 × 9652529
4jtjkq = 2^4 × 23 × 1j7q259
4jtjkt = 2 × 5 × 36343 × 1kj7
4jtjqj = 13 × 72k × 438419
4jtjtj = 3 × 47 × k7 × 2q8183
4jttkj = 8753 × 4696687
4jttjq = 2^3 × 5k8762639
4tkqkj = 3^5 × 61 × t39 × 2663
4tkqjj = t5653 × 388187
4tkqtk = t93 × 37523441
4tktqk = 7 × 67 × 1t9 × 78853
4tktjk = 59 × 4637 × 1499j
4tkttj = 33749 × q15239
4tqkqk = 6673 × 6145981
4tqkqj = t91 × 37591321
4tqktj = 3 × 16649 × 8211k
4tqktj = 3 × 16649 × 821j3
4tqqkk = 73 × 6361 × 88321
4tqqtk = 389 × t5429617
4tqjkk = 3^2 × 53 × 9j × 94379
4tqjkj = 47 × 872598113
4tqtkq = 2^6 × 7 × k × 19 × 457 × 8j
4tqttj = 3 × 7 × 1k × 239 × 723k
4tjktk = 7919 × 5178827
4tjktj = 67 × 743 × 823831
4tjjtq = 2^2 × 1123 × 9q98j
4tjjtq = 2^2 × 1q3 × 9q9811
4tjjtj = 3 × k × t51566949
4tjttj = 71 × 877 × 658633
4ttkqk = 61 × q7 × 5293679
4ttktk = 3 × 47 × 563 × 5166j
4ttqkk = 7 × 3q19 × 187661
4ttqkq = 2^5 × q81566291
4ttqqk = 2939 × k953767
4ttjkj = k × 3154623947
4ttjjk = 65519 × 625927
4tttkq = 2^6 × k267 × 48299
4tttqk = 743 × 55195291
4tttjk = 17 × 24q358889
3kkqtj = 6323 × 4952257
3kkttj = 3 × 41 × 3851 × 66t7
3kqkqj = 89 × 351821699
3kqktj = 7 × 4473161573
3kqjtj = 3 × 17 × 6k962961
3kqtkq = 2^5 × 2 × 3^7 × 349 × 641
3kqtjk = 61 × t7 × t63 × 4513
3kqttk = 2j × 148398583
3kqttj = 79 × 631 × 628139
3kjqkq = 2^5 × 978472541
3kjqkt = 2 × 5 × 7 × 73 × 6q7421
3kjqqj = 48623 × 643957
3kjtkq = 2^7 × 244617979
3kjtjk = 41^2 × 18626473
3ktktj = 3 × 151 × 69j7287
3ktqjk = 79 × 8581 × 46187
3ktqtk = 67 × 461 × t13699
3ktjqk = 47 × 666172579
3kttjj = 29 × t79658659
3qkqqt = 2 × 5 × 47717 × 654k
3qkqtj = 7151 × 4364861
3qqkqk = 41 × 761271493
3qqjkk = 661 × 4259 × 1t87
3qqjqk = 3^3 × 29^2 × k74559
3qqtkq = 2^6 × 7 × 61 × j42129
3qjkjj = 31 × 79 × q744439
3qjktk = 29 × t76245897
3qjktj = 3 × 17 × 6j982961
3qjjjk = 7 × k × 23 × 149q141
3qjjtq = 2^2 × t9 × 71585j7
3qjtkj = 3 × k × 67 × t9 × t9583
3qjtqk = 1657 × 2k1 × 8839
3qjtqt = 2 × 5 × 17^2 × 97 × jk37
3qtkqt = 2 × 3 × 5 × 97 × t725k1
3qtqkj = 41 × 761222471
3qtqjj = 13 × k7 × 3k × 55987
3qttjj = 3 × 7^2 × 167 × q7k39
3qtttk = 7^2 × k × 6263 × 7823
3qtttk = 7 × 7 × k × 6263 × 7823
3qtttj = 39113 × 797947
3jkjtj = 23 × k52743957
3jktkq = 2^13 × 2 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^13 × 2 × 19 × 89 × j23
3jktkq = 2^q × 2^2 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^j × 2^3 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^j × 2^3 × 19 × 89 × j23
3jktkq = 2^t × 2^4 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^t × 2^4 × 19 × 89 × j23
3jktkq = 2^9 × 2^5 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^9 × 2^5 × 19 × 89 × j23
3jktkq = 2^8 × 2^6 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^8 × 2^6 × 19 × 89 × j23
3jktkq = 2^7 × 2^7 × 19 × 89 × 1q3
3jktkq = 2^7 × 2^7 × 19 × 89 × j23
3jkttq = 2^2 × 7 × 1jj82179
3jqkqj = 7 × 23 × 21j × 91541
3jqkjj = 2519813 × q347
3jqkjj = 25198k × 12347
3jqqjj = 3 × k61 × 7619917
3jqqtk = 5927 × 5249219
3jqjqt = 2 × 5 × 43 × 61 × j86q7
3jqjtt = 2 × 3 × 5 × 79 × kq7473
3jjkqj = 2551 × q195661
3jjjtq = 2^2 × 8t43 × 95971
3jjtqj = k751 × 2262461
3jjttj = 19 × 43 × tk × 37591
3jtjjk = 683 × 45549211
3jttjk = 7 × k × 341869243
3jttjj = 719 × 43268569
3tkqtj = 449 × 3229 × 2k91
3tkjqk = 7^2 × 7229 × 87553
3tkjjj = 487 × 63681953
3tkjtj = 8623 × 3596557
3tktkq = 2^8 × j3 × 647 × 1657
3tktqk = 173 × 42j × 42571
3tqjqk = 163 × 1877 × tk63
3tqjjq = 2^3 × 38765k889
3tqjtk = k × 5147 × 463483
3tqtqk = 3 × 2j × 48992261
3tqttk = q79 × 24247147
3tjqkt = 2 × 5 × k × 1q57 × 2j91
3tjqkt = 2 × 5 × k × j257 × 2j91
3tjtjk = k73 × 22586381
3ttkqj = 19 × 1632j2169
3ttqkj = 13 × 17 × 3j × 45j81
3ttqqj = 47 × 659789813
3ttqjk = 137 × 22635q49
3ttqjk = k7 × 226351249
3ttqjt = 2 × 5 × 8q3 × 381757
3ttqtk = 23 × 1348266k1
3ttjkq = 2^4 × 1938k1957
3tttqk = 7 × k × 641 × 531623
2kkqtt = 2 × 3 × 5 × 7t437367
2kktqj = 19 × j21742169
2kkttj = q7 × 167819693
2kqkjj = 739 × 28839149
2kqkjt = 2 × 5 × q83 × 1661j7
2kqqqk = 17 × 2963 × 423t3
2kqqqj = 31 × 687487781
2kqqtk = 61 × 9949 × 35117
2kqjjk = 43 × 419 × j82889
2kqjtk = 17 × q53653589
2kqtkq = 2^6 × 2671 × q4673
2kjqqj = 1523 × k992857
2kjjkq = 2^4 × 631 × 21t847
2kjtkq = 2^7 × 166492979
2kjtqj = 29 × 19k × 384143
2kjtjj = 17 × 6359 × 197k7
2ktqkq = 2^5 × 665941291
2ktqkq = 2^4 × 2 × 66594q91
2ktqkj = 61 × 349346251
2ktqqk = 19 × 1q1585327
2ktqqk = 19 × j21585327
2ktqjk = 7433 × 2866961
2ktqjt = 2 × 5 × 619 × 9j × 3779
2ktqtj = 29 × 734831759
2ktttj = 97 × 967 × 227189
2qkkqj = 3^2 × 2789 × 8451j
2qkkqj = 3 × 3 × 2789 × 8451j
2qkkjj = 2399 × 8842489
2qkktj = 47 × 451343213
2qkjqk = 3 × 3 × 7 × 7 × 48t2293
2qkjtk = 19 × 397 × 28q291
2qkjtt = 2 × 5 × 7 × 13 × 2331jj
2qkjtt = 2 × 5 × 7 × k × 233111j
2qktkq = 2^8 × 13 × 6374129
2qktkq = 2^7 × 2 × 13 × 6374q9
2qktqk = 47 × 4111 × t9789
2qktjk = 193 × t9912441
2qkttj = 31 × 97 × t3 × 68491
2qqktk = 653 × 32484121
2qqktj = 3 × 53 × 97 × k75357
2qqqjk = 19 × 1j6427427
2qqqtj = 8423 × 2518357
2qqjjk = 59 × 163 × j53 × 19k
2qqjjj = 47 × 451321513
2qqjtk = 3 × 6151 × j49521
2qqjtt = 2 × 3 × 5 × 6k × j53459
2qqttk = 31 × 53 × 129t591
2qjktk = 17^2 × 73394917
2qjqkq = 2^5 × 662847541
2qjqqk = 263 × 859 × 93889
2qjqqj = 3 × 7 × 59 × 17j9549
2qjqqt = 2 × 5 × 4t17 × 51713
2qjqtj = 383 × 55381517
2qjjkq = 2^4 × k25694457
2qjjkj = 3 × k × 543874649
2qjjqj = 7481 × 2835331
2qjtkq = 2^7 × 3 × 839 × 65837
2qjtjk = 71 × 269 × 11t587
2qjtjq = 2^3 × 265k87639
2qjtjt = 2 × 5 × 17 × q477j83
2qtqqt = 2 × 5 × 29 × 73k8349
2qtjqj = 769 × 27581419
2qttkq = 2^6 × 379 × 874427
2qttqk = 7 × 2731 × 1t9489
2qttqj = 3 × k × 543848749
2qttjk = 29 × 731382797
2qtttk = 3 × 3k × 22587967
2jktkq = 2^7 × 2^3 × 17 × qq839
2jktkq = 2^6 × 2^4 × 17 × qq839
2jktkq = 2^5 × 2^5 × 17 × qq839
2jqkqj = 317 × 66599783
2jqktk = 43 × 7237 × 67843
2jqktt = 2 × 5 × 19 × 1jj6479
2jqqkq = 2^5 × 659753791
2jqqkj = 155893 × k5427
2jqjkq = 2^4 × 2153 × 6q869
2jqjqk = 53 × 398341721
2jqttk = 41 × 514929293
2jjktj = t3 × 1871 × t9547
2jjqkk = 56629 × 372797
2jjqkj = 3 × 7 × 983 × t22677
2jjqqk = 7 × k^2 × 29 × 563 × t93
2jjjkt = 2 × 5 × 281 × 75q851
2jjjtk = 6287 × 3357899
2jjtkq = 2^7 × 7 × 1889 × q473
2jjtkj = t567 × 1997833
2jtkqj = 13^2 × 29 × 347 × q4k
2jtkjt = 2 × 3 × 5 × 6t1 × j5337
2jtqkk = 83 × 3499 × 72689
2jtqkj = 433 × 48753167
2jtqqj = 23 × 917831357
2jtjkq = 2^4 × k19381957
2jtjqk = t7 × 367 × 419 × q83
2jtjjk = 7 × k × 231979243
2tkkqj = 167 × q5827133
2tkqkq = 2^5 × 9811 × 66931
2tkqkq = 2^4 × 2 × 98j × 66931
2tkqqk = 7 × 15569 × 1928j
2tkjkj = 3 × 59 × j8718143
2tkjkt = 2 × 5 × 41 × 5q51491
2tkjtk = 79 × 265988747
2tktjj = 3 × 1k × 61985549
2tktjj = 3 × j3 × 61985549
2tkttk = 37 × 567921649
2tqkkq = 2^4 × 19 × 69j8853
2tqqkj = 3 × 3k87 × 223151
2tqqqj = 263 × 137j × 5827
2tqqqj = 263 × k711 × 5827
2tqqjj = 1912453 × t987
2tqqtt = 2 × 5 × 2677 × 7849k
2tqjqj = 7 × k^2 × 29 × 197 × 3t9
2tqjqj = 7 × k × k × 29 × 197 × 3t9
2tqjtj = q7 × 165449693
2tqjtt = 2 × 5 × j^3 × 17 × 92863
2tqtjq = 2^3 × 3 × 883 × 9915j
2tqtjt = 2 × 5 × 7^3 × j × k × 42839
2tjkkj = 3 × 743 × 9426259
2tjkqk = 78593 × 267341
2tjkjq = 2^3 × 91153 × 288k
2tjkjq = 2^3 × 9j53 × 28813
2tjktt = 2 × 5 × 41 × 5q46661
2tjqjj = 3 × t9 × 64254193
2tjqjt = 2 × 5 × 7^2 × 47 × 9q337
2tjjkq = 2^4 × k7 × 9585361
2ttjkk = 29 × 724486597
2ttjkj = 3 × 7 × 839 × j92469
2ttjqj = 587 × 35792353
2ttjjk = 3 × 17 × 4j962963
2tttkq = 2^6 × 3 × 37 × k9 × 2q77
2tttkj = 73 × q713 × 22639
2tttqj = 11 × k7 × k941673
2tttqj = j × 137 × k941673
2tttjk = 79 × 2389 × 11k23
2tttjk = 79 × 2389 × 1j323
1kkjjj = 3 × 887 × 4251451
1kktqj = 3 × 43 × 87698459
1kqkqj = 17 × 547 × q16489
1kqqtj = 17 × 665418883
1kqjtk = 3 × 7 × 538671953
1kqtkq = 2^6 × 176751583
1kqtjj = 2347 × 4819813
1kjqkq = 2^5 × 353472541
1kjtkq = 2^7 × 3 × 7 × 823 × 5113
1kjtkq = 2^6 × 2 × 3 × 7 × 823 × 5j3
1kjtqk = 3 × 293 × q868147
1kjtqj = 4729 × 2391859
1ktktj = 139 × 81367849
1ktqkj = 3 × 43 × 87675359
1ktqqj = 4463 × 2534197
1ktqjk = 3 × 37 × t1892983
1ktqjq = 2^3 × 59 × 23962q1
1ktqtk = 19 × 595269527
1ktqtj = 3 × 7 × 538577191
1ktjjj = 3 × 13 × t7 × q7 × 2k41
1ktjtj = 23 × 89 × 5525213
1kttjq = 2^3 × 3 × 4712542k
1kttjq = 2^3 × 3 × 47q54213
1qkqkt = 2 × 5 × 1q3 × 998497
1qkqkt = 2 × 5 × j23 × 998497
1qkqtt = 2 × 5 × 7 × k × j53 × t687
1qkjqk = 57241 × 195893
1qkjjk = 132241 × 84793
1qkjtj = 59 × 71 × 353 × 7583
1qktqq = 2^2 × 3 × 934425t1
1qktqj = 13 × 862546247
1qktjq = 2^3 × 6t1 × 229739
1qqtkq = 2^6 × 3 × 58396361
1qqtqj = 163 × 68785897
1qjqjt = 2 × 3 × 5 × 7^2 × 76266k
1qjqjt = 2 × 3 × 5 × 7 × 7 × 76266k
1qjqtj = 3 × 4159 × 898543
1qjjkj = 313 × 35818247
1qjjqj = 2549 × 4398239
1qjjjk = 47 × 8117 × 29387
1qjjtj = 144289 × 77699
1qjtkk = 3 × 23561 × 1586j
1qjtkq = 2^6 × 2 × 87586729
1qjtqk = k^2 × 29 × 41 × 55793
1qjtqj = 3 × 97 × 38526121
1qtkkq = 2^3 × 2 × 137 × 5j41j
1qtkqj = 17 × 97 × 6798139
1qtkqt = 2 × 5 × 47 × 2385k43
1qtqkk = 41 × 273417593
1qtqkq = 2^5 × 3 × k × 8982469
1qtqqj = 66587 × 168353
1qtjqk = 7 × t9 × 577 × 25463
1qtjjk = 315449 × 35537
1qtjjj = 7297 × 1536263
1qtjtj = j × 2239 × 455159
1qttkq = 2^6 × 175157833
1qttkj = 3 × 13t3 × 285179
1qttkt = 2 × 5 × 563 × 1991k7
1qttkt = 2 × 5 × 563 × 199j37
1qttqq = 2^2 × 3 × 934175t1
1jkkqj = 7 × 13 × 97 × q58993
1jkqkq = 2^5 × t799 × 32159
1jkqqj = 3 × 31 × j9495927
1jkqjk = 293 × 37928741
1jkqtj = 467 × 23796833
1jkjqj = 61 × 149 × 953 × q83
1jktqk = 3 × t7 × t9 × 317617
1jktqt = 2 × 3 × 5 × t1j × 36637
1jktjj = 3 × 7 × 529195291
1jkttq = 2^2 × 3 × k × 7q37827
1jkttt = 2 × 5 × j^2 × 9184381
1jkttt = 2 × 5 × j × j × 9184381
1jqkkj = 17 × 653654783
1jqkqk = 59 × 2473 × 76159
1jqqkk = 29 × 3727 × t2811
1jqqkq = 2^5 × 347253791
1jqqkj = 3 × 37 × 47 × 2q9983
1jqqqj = 439 × k81 × 18329
1jqqjk = 3 × t3 × 35961557
1jqqtk = 7 × 1587445859
1jqjkk = 283 × 39265411
1jqjtk = 17 × 653653589
1jqtkq = 2^6 × 13 × k355891
1jqtkj = 31 × 358454881
1jqtqj = 3 × 53 × 79 × 884651
1jqtjj = 229 × 48524459
1jqttk = 3 × k^2 × 29 × 755771
1jjkqt = 2 × 5 × 3j × 719 × 4969
1jjkjq = 2^3 × q23 × 1k5643
1jjqkq = 2^5 × 3 × 37 × 3128k1
1jjqkq = 2^4 × 2 × 3 × 37 × 3q8k1
1jjqqk = 3 × 2j69 × 174959
1jjqjk = 48673 × 228281
1jjtkj = 3 × 41 × 67 × k48271
1jjttq = 2^2 × j × 719 × 35q17
1jtkkj = 233 × 47682967
1jtkjt = 2 × 5 × k × 85462547
1jtktt = 2 × 5 × j × 743 × k5937
1jtqkq = 2^5 × k7 × 2534243
1jtqjt = 2 × 5 × j × k337 × 7573
1jtqtk = 3 × 34693 × t6747
1jtqtj = 11 × 38977 × 259k
1jtqtj = j × 38977 × 25913
1jtjkq = 2^4 × t7 × 6489551
1jtjkt = 2 × 5 × 97 × k1 × 87433
1jtjtj = 3^2 × 3 × 6961 × 591k
1jtjtj = 3 × 3 × 3 × 6961 × 591k
1jttkj = 89 × 124832599
1jttqj = j × 19 × 53158379
1jttjq = 2^3 × 11 × q625j49
1tkkqj = 3 × 31771 × j5547
1tkqqt = 2 × 5 × 7 × 13 × qt2331
1tkqqt = 2 × 5 × 7 × k × 12t2331
1tkqjj = 167 × 65946833
1tkqtt = 2 × 5 × 97 × 1k53733
1tkjtk = 37 × 2719 × t9471
1tkjtj = 7 × 9923 × 158551
1tktkq = 2^7 × 2 × 719 × 59833
1tktjj = 5653 × 1948187
1tqkqj = 967 × 11387933
1tqkjj = 29 × 379728659
1tqktk = 13 × 5j9 × 165479
1tqqqj = 7 × 13 × 89 × k59689
1tqjkk = 3 × 7 × 524386253
1tqjtk = 3 × 877 × 4185523
1tqtkq = 2^6 × j3 × 1522691
1tqtqj = 43 × 1429 × 1792k
1tqtjk = 3 × k × 282361567
1tqtjj = j × 19 × 83 × k9 × 4567
1tqttk = 317 × 34738489
1tqttj = 3^3 × 571 × 714283
1tjkjk = 23 × 478744831
1tjqkq = 2^5 × 383 × 898427
1tjjqj = 19 × 579532169
1tjtqk = 3 × 7 × 23 × 227973j
1tjtjj = 3^2 × q23455679
1tjtjj = 3 × 3 × q23455679
1ttkkj = 17 × 47 × t9 × q6421
1ttkqj = 3 × 23 × 159567j9
1ttktk = 3 × 7 × 53 × 79 × q5219
1ttqkq = 2^5 × 61 × 83 × 67957
1ttqqk = 7 × k × 17 × j3 × 62983
1ttqjj = j × 17 × q89 × 45677
1ttqtj = 3^2 × 4871 × 25j49
1ttqtj = 3 × 3 × 4871 × 25j49
1ttjkq = 2^4 × 3 × 37^2 × k7 × q23
1ttjkt = 2 × 5 × j × j443 × 8747
1ttjjj = 3^3 × 4253 × 95881
1tttkq = 2^6 × 7 × 3259 × 7541
1tttkj = j × 23 × k7 × 317651
1tttjj = 29 × 379658659

・18枚消費

kkqjqj=3^2*277*93j*5657
kkqjqj=3*3*277*93j*5657
kkqjtt=2*3*5*q7*34465q1
kkqtqj=73*349*5154143
kkjqjj=41*77617*41263
kkjjqj=7*t63*17646971
kkjjqt=2*5*47^2*5944369
kkjttj=47*t1*27661913
kktjtj=2j*461*1349941
kqkjqt=2*5*61*3j*691651
kqktqj=223*588399557
kqqjqk=73*1797426181
kqqtkj=19*189j*365179
kqqtqk=3^2*1289*j3t413
kqqtjj=3*7*k*37*61^2*3491
kqqttk=7*t1*185589959
kqjqkq=2^5*t859*377599
kqjqkj=3^2*4691*3t7869
kqjqkj=3*3*4691*3t7869
kqjqjj=7*t1*3517*52769
kqjqtj=3*7723*5663219
kqjjjk=73*1797412481
kqjjjt=2*5*2143*6q2777
kqjtqj=3*t13*43175749
kqjtjk=19*t1*68374727
kqjtjj=t7*1226271973
kqtkjj=t156369*12919
kqtktj=3*19*97*2373q59
kqtqkj=97*1352681663
kqtqqk=3^3*4859634119
kqtqqk=3^2*3*4859634j9
kqtqqj=k*t1*173*577639
kqtqjk=t3*1273884671
kqtjjk=751*174713863
kqtjtk=3*73*83*7218469
kqttkj=3*769*t453*5441
kqttjj=89*77761*18959
kjkjqj=53*2473832287
kjktqj=79*15161*t9469
kjktjj=3*83*526558639
kjqkqt=2*5*577*9j*24943
kjqqjk=3^2*t1*3j*463787
kjqqtk=61*223*9638471
kjqtkj=143257*915223
kjqtqk=73*168533*t657
kjqttj=127717*t26583
kjjkqt=2*5*29*452t7349
kjjqtk=557*q763*18443
kjjttk=t1*881*1473473
kjtktt=2*5*61*1867*j5q3
kjtqkq=2^5*31*5j9*25819
kjtqqk=11423*j477731
kjtqqj=3*1t3*39622279
kjtqtk=3*4138969*t559
kjtjqk=89*t1*t9*133813
kjttjk=17*t1*76359989
kjtttk=73*2617*686293
ktkqjj=17*17*23*197tj3
ktkjtj=83*1578471217
ktktjt=2*5*1699*771j89
ktqktj=3*t3*423987479
ktqqjq=2^3*16376515k9
ktqjtk=3*7*6238671953
ktqjtt=2*3*5*j*491*8j*997
ktjkjj=3*7*6238625291
ktjqkq=2^5*271*15t7371
ktjqjj=13*7841*q85267
ktjqjj=k*7841*1285267
ktjqtk=3*577*75685223
ktjjqk=7121*18397853
ktjtkj=827*158417293
kttkjj=23*t1*56396957
kttqjj=2377*55115743
kttqtk=19*221549*31q3
kttqtk=19*221549*3j23
kttjqj=7^3*7^2*211*36943
kttjqj=7^3*7*7*211*36943
kttjqj=7^2*7^2*7*2j*36943
qkkqqj=43*2821235377
qkkqjq=2^3*79*19195j41
qkkqtj=541*224238671
qkkjtj=t1*6397*187763
qkktqj=47*2581129813
qkkttj=3*3299*q257563
qkqqtk=3^3*271*2399*69j
qkqttk=29*4183175897
qkjktj=7*17^2*19*3156t3
qkjqkq=2^4*2*9j*4161331
qkjqqk=73*257*6466133
qkjjqk=3^3*19*761*3t741
qkjtkq=2^7*17*53*t51879
qkjtqk=83399*1454587
qktkjj=13*9331548547
qktqkj=953*127292887
qktqjk=73*1661782481
qkttkq=2^6*t1*431*43543
qkttjk=3*36781*t99391
qkttjj=73*557*2983451
qqkkqt=2*3^5*5*49881947
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qqkjjj=148667*815333
qqqkkj=457*265234423
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qjjkjk=7*7*8329*296753
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jjtqtt=2*5*7*7*59*38433j
jjtjqk=61*1821477233
jjttkk=t1*4877*225569
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jtkqkj=139*798655549
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jtkjtq=2^2*281*98766j3
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jtqtkq=2^6*7*7*2659*133k
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jtqtqk=k*31*275464271
jtqttj=7*15858871573
jtjktk=t3*1721*626251
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jtjqkj=59*1881544429
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jtjqtk=13*1k*75569177
jtjqtk=13*j3*75569177
jtjjqt=2*5*8123*k66627
jtjjqt=2*5*8q3*1366627
jtjtkk=7*15858728759
jtjtkq=2^7*461*1881289
jtjtkq=2^6*2*461*188q89
jttkjk=7*149*q31*86461
jttktj=13*41*757*275k1
jttqqk=467*1t27*21557
jtttkj=24197*4587763
jtttqq=2^2*89*311826q7
tkkqjq=2^3*7*67*2521*t7j
tkqqkt=2*5*t1*j71*85661
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tkqtjk=3*311*t8587461
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tkqtjj=k*29411*264977
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tkjjkj=3*3251*t387687
tkjtkt=2*5*8j*3359*3719
tktkqj=3*17*19*t455q19
tktqjj=227*461*968113
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tktqtq=2^2*557*4547k29
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tqkjjk=188633*536561
tqkjjj=7*t1*143158573
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tqqjtt=2*5*15277*6625k
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tqjktk=3*2659*q687869
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tqjktj=23*41*83*q93119
tqjqjt=2*3*5*j*7417*4k51
tqjjkj=17*t1*58946483
tqjjkt=2*5*71*1217*j7k3
tqjjkt=2*5*71*q17*j7133
tqjtkq=2^7*t1*1721*4549
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tqtktj=3*j*43*71324969
tqtqtk=k9*17231*42257
tqtjqt=2*5*k*778539317
tqttkq=2^6*73*859*25219
tjkkqj=t1*349*2868539
tjkkjt=2*5*t1*j3*885947
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tjktqt=2*3*5*j*43^2*1657k
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tjqqkj=3*2741*q296257
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tjtkkj=7*17*t21*832189
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tjtktk=53*461*4138261
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tjttjk=7*43969*328511
tjttjj=3^2*19*59q87141
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ttkqqj=31*3258487781
ttkqqt=2*5*89*1k497889
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ttkjqj=613*164784847
ttqkqj=t1*449*2227439
ttqkjk=3*47*769*931597
ttqqjj=3*j*41*t1*739187
ttqqtk=1721*58693853
ttqjkq=2^4*7*41*219974j
ttqjkj=61*1655936251
ttqjjt=2*5*j71*8626141
ttqtkq=2^6*53*29779511
ttqtkq=2^5*2*53*297795j
ttqtqj=7*367*39319619
ttqtjj=j87*4813*17681
ttjkqk=3*19*1772125t9
ttjqkq=2^5*t1*31253441
ttjqkq=2^4*2*t1*3q53441
ttjqjk=7*89*162136631
ttjqjj=2383*42388217
ttjqtk=3*j^2*278267551
ttjqtk=3*j*j*278267551
ttjjkk=7*t1*142872859
ttjjqk=47*2149172579
tttkjk=23*71*61855561
tttkjj=2689*3881*9679
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tttqjk=3*j*83*36878467
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tttjkk=787*128348299
tttjkj=239*422636449
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tttjjq=2^3*q626263889
9kktjj=34913*2615447
9kqqkq=2^5*251*j368541
9kqqqk=593*1823*84467
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9kqjkt=2*5*7*t1*q915433
9kqjqk=619*147515527
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9kqtjk=15233*5994361
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9kqttt=2*5*13^2*k9*3887j
9kjqqj=47*2683*724111
9kjqtj=3*11*97*285258j
9kjjqk=3*7*739*5883827
9kjjqq=2^2*17*k428t459
9kjjjq=2^3*k*877991453
9kjjjt=2*5*17*537q4183
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9kjttj=k*43*163347229
9ktkjq=2^3*j413766389
9ktqkj=123127*741593
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9ktjkq=2^4*7*29*281q719
9ktjqj=3*j*53*167*3q617
9ktjtj=7*661*4243*4651
9kttkt=2*5*17*537j8243
9kttjk=3*7*11*857*46q39
9kttjk=3*7*j*857*461239
9kttjq=2^3*114k762639
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9kttjj=317*419*687457
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9qkktj=1777*51329843
9qkktt=2*5*q7*71821363
9qkqkq=2^4*2*31*919487j
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9qkqjk=263*346817951
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5kqjtj=7*7*7129*146891
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5tkkjj=3*3*52561*t7839
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5tktjj=3*7*62869*38639
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5tqjjq=2^3*41*k7*j35217
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1tttkq=2^5*2*7*3259*7541

・19枚消費

kkqqqt=2×3^2×5×j3×129j713
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kjqkqj=3×3×47×j3×2742989
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qkqqkt=2×3^4×5×19×7882529
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qkqqtk=3^2×3×271×2399×69j
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qkqttq=2^2×3×41×2465693j
qkjkjt=2×5×13×19477×479j
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qkjqqt=2×5×t1×1627×73823
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qkjtkq=2^6×2×17×53×t51879
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qqtjtq=2^2×35911×843823
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qjkkqj=3×3×89×j821×12791
qjkkqt=2×5×41×295397881
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qjkqjt=2×3×5×1k99×354163
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qjkjkq=2^4×3×3×43×195596j
qjkjqk=3^2×83×162132679
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qjtjkt=2×5×t21×2671×4441
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qjttjt=2×5×23×23×41j×5569
qtkkqt=2×5×5659×2138419
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qtkjtq=2^2×61×67×163×454k
qtktkq=2^6×2^2×6317×74831
qtktkq=2^5×2^3×6317×74831
qtktkq=2^4×2^4×6317×74831
qtktkt=2×5×43×281425817
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qtktjq=2^2×2×15q6637639
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qtqqkt=2×3×5×883×4568219
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jkkqtq=2^2×59×471665767
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jkjkqq=2^2×3^2×31×9974j57
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jkjkjt=2×3×5×71×52258747
jkjktq=2^2×83×593×565387
jkjqkq=2^5×3^2×29×71×1877j
jkjqkq=2^5×3×3×29×71×1877j
jkjqtj=23×317×15266921
jkjjqk=23×97×t7×239×1951
jkjjqq=2^2×7×3975396829
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jkjttq=2^2×29×959578457
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jktqkq=2^5×13×7193×37199
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jktjtt=2×5×7×29×479×j4473
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jqtqqt=2×5×23857×466153
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jqtqtj=3×j×29×293×613×647
jqtjjt=2×5×7×6553×242441
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jjkjqt=2×5×31×t3×3479897
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jjktkq=2^9×2^3×2×83×163417
jjktkq=2^8×2^4×2×83×163417
jjktkq=2^7×2^5×2×83×163417
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jjktjq=2^3×k×2741×389783
jjqkkt=2×5×12541×885991
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jjqtjk=13×t1×2447×34583
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jjqttt=2×5×233×47687597
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jjjqtt=2×5×31×358422971
jjtkkq=2^4×19×365493853
jjtkqq=2^2×3×35j×2637191
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jjtqkq=2^4×2×3×8543×k5479
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jtkqtk=3×17×661×q97×2539
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jtkjtq=2^2×281×98766113
jtkjtt=2×5×197×56351833
jtktqq=2^2×13×2k4867331
jtktjt=2×5×23×163×2961k9
jtktjt=2×5×23×163×296j39
jtkttq=2^2×3×j×131×64199j
jtqkqt=2×5×43×258167747
jtqqkq=2^4×2×3469128791
jtqqjq=2^3×t1×6361×21599
jtqqtq=2^2×13×2k4848481
jtqqtj=3×j×23×t1×587×2467
jtqjkt=2×5×2689×4128379
jtqjjq=2^3×7^2×283194161
jtqjjq=2^3×7×7×283194161
jtqjjt=2×5×19×584274269
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jtqtkq=2^6×7×7×2659×13313
jtqtkq=2^5×2×7×7×2659×133k
jtqtqk=13×31×275464271
jtqtqj=3×j×19×67×t7×24697
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jtjtkq=2^5×2^2×461×188q89
jtjtkq=2^4×2^3×461×188q89
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tkqttj=3×11×j×j×23^2×47963
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tktjqt=2×3×5×7×7×j×761×8233
tktjtq=2^2×3×j×61×71×1772j
tkttqj=3×j×31×k9×457×1559
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tqkktt=2×5×31×2791×j6981
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tqqqjt=2×5×79×569×225161
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tqqqtt=2×3×5×7^2×7×11^2×k^3×37
tqqqtt=2×3×5×7^2×7×11×j×k^3×37
tqqjkq=2^4×13×t1×4817789
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tqjqqk=23×2371×1855961
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tqjqtj=3×7×j×k×37×59×15439
tqjqtt=2×5×283×35763647
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tqtqtk=139×17231×42257
tqtjqt=2×5×13×778539317
tqttjq=2^3×691×751×24379
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tjkkjq=2^3×7×7×257941661
tjkkjt=2×5×t1×113×885947
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tjktqt=2×3×5×11×43^2×1657k
tjktqt=2×3×5×j×43^2×165713
tjktqt=2×3×5×j×43×43×1657k
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tjtjkt=2×5×k×463×1679849
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ttqtkq=2^3×2^3×53×297795j
ttjqkq=2^4×2×t1×31253441
ttjqkq=2^3×2^2×t1×3q53441
ttjqtk=3×11^2×278267551
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tttqkq=2^4×2×3156566291
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9kkjtt=2×3×5×j×j×197×q7691
9kqkqt=2×3×5×67×45428921
9kqktt=2×5×157×2749×2j57
9kqqkq=2^4×2×251×j368541
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9kqtkq=2^5×2×3×475583861
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9kqtqt=2×3×5×j×t1×2739637
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9kqttt=2×5×13^2×k9×388711
9kqttt=2×5×13×13×k9×3887j
9kjqjk=3×197×2647×58369
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9ktjtt=2×3×3×5×79×q842491
9kttkt=2×5×17×537118243
9kttqq=2^2×3×j×691743191
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9qkkqt=2×3×5×2767×t98821
9qkktt=2×5×127×71821363
9qkqkq=2^3×2^2×31×919487j
9qkqqt=2×5×19×t1×4753159
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9qkqtq=2^2×k×12t7×144883
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9qktqt=2×3×5×7×j×39486191
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9tqkqt=2×3×5×7×11×k×37×t1×8j
9tqkqt=2×3×5×7×j×13×37×t1×8j
9tqkjj=3×11×25931×t6357
9tqjqq=2^2×3×j×t1×6826591
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9tqtkk=7×127×2389×42853
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9tjktk=3×j×19×947×153277
9tjktt=2×3^3×3×5×8171×k751
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9tjjqk=3×11×59×46744279
9tjtjj=7×17×53×t1×142873
9ttkkq=2^4×17×547×611693
9ttkkq=2^3×2×17×547×6j693
9ttkkj=3×11×443×6225469
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9ttqkq=2^5×3×11×86183827
9ttqkq=2^4×2×3×j×86183827
9ttqqk=3×j×487×1787×3169
9ttqtj=19×16273×294353
9ttjtk=3^2×61×89×1862633
8kkqqq=2^2×373×877×62143
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8kkjjq=2^3×43×97×2436859
8kktjq=2^2×2×t164137639
8kktjj=3×j×83×1999×14851
8kqkjt=2×5×7×29×41×976957
8kqqjj=13×193×4649×6971
8kqqjt=2×3×5×j×47×5242561
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8kqjqt=2×3×5×j×21673×1k69
8kqjqt=2×3×5×j×21673×j369
8kqjtk=7^2×29×31×t3×17921
8kqjtk=7×7×29×31×t3×17921
8kqtkq=2^6×13×6793×14387
8kqtkt=2×3×5×j×31×t1×78697
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8kjqqq=2^2×2699×7531597
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8kjjkj=37×43×59×461×1879
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8kjjtk=3×11^2×61×739×4969
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8kjjtq=2^2×t271×1979143
8kjjtj=13×2531×2471237
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8kjtqq=2^2×3×j×j×55999381
8ktkjt=2×5×13×625462547
8ktqkq=2^4×2×7×362991613
8ktqjk=13×13×823×584599
8ktqtt=2×3^2×5×719×q56531
8ktqtt=2×3×3×5×719×q56531
8ktjkq=2^3×2×37×t2j×13451
8ktjqq=2^2×3×j×615985691
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8qkqkt=2×5×17×t1×4729943
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8qtkkt=2×3×5×7×j×j×41×77951
8qtjqk=3×7×11×351558923
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8jqqkt=2×3×5×j×j×23×t1×9619
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8jtjjt=2×5×7×7×23×7196993
8tkkjt=2×5×31×261332681
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8tqkkq=2^3×2×7×57139×q659
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8tqktj=7×19×29×431×48733
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8tjkjk=3×j×257×1459×6547
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8tjktt=2×5×251×k81×23371
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8tjqkt=2×5×7×7×t1×1636919
8tjqjq=2^3×463×21871253
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8tjtkj=3×3×7×569×2259913
8tjttj=3×17×197×673×j981
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8ttjqt=2×5×7×61×18971923
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8ttjjk=3×3×491×2753×6659
8tttqq=2^2×449×8161×5527
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7kkqjq=2^2×2×59×1493×tj97
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7kqqkt=2×5×31×37×89×69857
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7kqqtt=2×5×13×73×7514449
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7kjtkq=2^7×3×j×131×128873
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7qkjtt=2×3^5×5×17×k7×12583
7qkjtt=2×3^4×3×5×17×k7×q583
7qktqq=2^2×3×j×539493191
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7qqqkt=2×3×5×11×29×744j83
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7qqjkt=2×5×193×36897467
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7qqjjt=2×3×3×5×7^2×67×24t13
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7qqtkt=2×5×7×7×t1×1438919
7qqtqt=2×3^3×5×17×2j×73529
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7qjkjt=2×5×7×7×145328839
7qjqkt=2×5×7^2×t723×13553
7qjqqt=2×5×3929×1812449
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7qjqtt=2×5×41×173685661
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7qjjkq=2^3×2×3×j×k4869529
7qjjkt=2×5×37×192462463
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7qjtkq=2^4×2^3×13×42795k3
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7qjtkt=2×3×3×5×791234459
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7qttkj=3×3×19×67×6215423
7qttqq=2^2×3^5×59×71×17489
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7jkjjk=3×11×8243×261427
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7tktqq=2^2×29×t1×1k×53639
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7tqjqj=3^2×3^2×883×992857
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7tjkqk=3×j^2×29×1889×3571
7tjkqk=3×j×j×29×1889×3571
7tjqkj=k×17×23×1433×9749
7tjqjq=2^3×3^2×986265571
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7tjqtt=2×3×5×433×5466599
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7tjjkq=2^3×2×k1×j81×28687
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7tjtkq=2^6×2×3×3×47×k11523
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7ttqkt=2×5×43×165139817
7ttqtq=2^2×53×5441×61561
7ttjqk=3^2×3×59×44576341
7ttjqq=2^2×41×4363×99241
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7tttkj=17×349×11968667
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5qtkjq=2^3×3×3×7×97×t47499
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5jtqkq=2^5×3^2×3×3×197184j
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2jjtkq=2^4×2^3×7×1889×q473
2jjttt=2×3^3×5×4177×18719
2jtkqj=13×13×29×347×124k
2jtqkq=2^4×2×3×7×73×653×659
2jtqqq=2^2×17×31×67×k7×t91
2jtqtt=2×5×11×j×53×329177
2jtjkq=2^3×2×1319381957
2jtjkt=2×3×5×19×631×58693
2jtjqj=3×7×137×151×48593
2jtjtt=2×3×3×5×234556789
2jttjt=2×3^2×5×7×7×k1×36541
2jttjt=2×3×3×5×7^2×k1×36541
2jttjt=2×3×3×5×7×7×k1×36541
2tkkjq=2^3×17×29×47×j3359
2tqkkq=2^3×2×19×69118853
2tqktt=2×3×5×13×53877259
2tqqkq=2^5×7×13×17×43×9871
2tqqkq=2^4×2×7×k×17×43×9871
2tqjqq=2^2×47×111766549
2tqjqj=7×13×13×29×197×3t9
2tqjtt=2×5×11×j×j×17×92863
2tqtjt=2×5×7^3×11×13×42839
2tqtjt=2×5×7×7×7×11×k×42839
2tqtjt=2×5×7×7×7×j×13×42839
2tjkjk=3×7×17×31×1898539
2tjqtt=2×5×11×7537×25343
2tjjkq=2^3×2×137×9585361
2tjtkj=3×37×137×947×1459
2tjtqt=2×5×11×17×j235883
2ttkqq=2^2×7×7×79×311×4363
2ttkqt=2×3×5×53×89×148471
2ttqqt=2×5×13×43×977×3847
1kktjq=2^3×3×17×27728189
1kqkqq=2^2×3×3×37×8492591
1kqkjt=2×3×5×7×12577×4283
1kqqkq=2^5×3^2×3×877×14929
1kqqkq=2^5×3×3×3×877×14929
1kqqkq=2^4×2×3^3×877×14929
1kqtkq=2^4×2^2×176751583
1kqtkq=2^3×2^3×176751583
1kqtqq=2^2×3×19×49614479
1kqtjq=2^3×13×4783×22741
1kjqjq=2^2×2×3×37×97×13k17
1kjqtt=2×3×5×7×23×2341847
1kjtqt=2×3×5×479×547×1439
1ktkqq=2^2×17×166325459
1ktkjq=2^3×3×7×167×599×673
1ktkjt=2×5×17×179×443×839
1ktjtq=2^2×3×29×37×878387
1qkqqt=2×3×5×37×1787×5653
1qkqtq=2^2×3×197×4743283
1qkjjq=2^3×3×7×241×276949
1qkjjt=2×5×23×281×173497
1qktqt=2×5×79×193×251×293
1qqqtt=2×3×5×17×k1×257×653
1qqtkq=2^4×2^2×3×58396361
1qqtjq=2^2×2×1637×856147
1qtkqq=2^2×3×7×7×71×268519
1qtqkq=2^4×2×3×13×8982469
1qtqtj=17×19×47×227×3253
1qtjjq=2^3×3×19×37×664421
1qtjtk=3×23×257×443×1427
1qttkq=2^4×2^2×175157833
1jkqkt=2×3×5×37×1499×6679
1jkqjq=2^2×2×3×4751×97463
1jkqtq=2^2×7×7×41×257×5381
1jkjqq=2^2×3×7^2×18899849
1jkjqq=2^2×3×7×7×18899849
1jkjjt=2×3×5×67×487×11353
1jqkkq=2^3×2×23×89×491×691
1jqktq=2^2×186859×14867
1jqqkt=2×5×19×179×397×823
1jqjtq=2^2×3×19×48737329
1jqjtt=2×5×7×j×13×557×1993
1jqtkq=2^4×2^2×13×k355891
1jqtjq=2^3×3×7×61×379×2861
1jqttt=2×3^2×5×123467789
1jqttt=2×3×3×5×123467789
1jjkqq=2^2×3×61×1423×t667
1jjqkt=2×5×43×59×191×2293
1jjqqt=2×3×5×7×67×181×4363
1jjqtq=2^2×3×1399×661849
1jtkqq=2^2×19×2699×54163
1jtkjq=2^3×773×1259×1427
1jtktq=2^2×3×479×1932869
1jtqtt=2×3^2×5×17×97×74861
1jtqtt=2×3×3×5×17×97×74861
1jtjjt=2×3^2×5×7×19×928163
1jtjjt=2×3×3×5×7×19×928163
1jttqt=2×3^2×3×5×k×3165271
1tkktq=2^2×13×17×q458293
1tkqjq=2^3×7×1279×153763
1tkqjq=2^2×2×7×q79×153763
1tkqtq=2^2×19×59×659×3727
1tktkq=2^4×2^3×2×719×59833
1tqjtq=2^2×7×17×23134687
1tqtqq=2^2×3×7×29×t3×43889
1tqtjq=2^2×2×41×33573479
1tqttq=2^2×11×6899×36277
1tjqjq=2^2×2×3×43×t669691
1tjjtq=2^2×11×397×593×t63
1ttkqt=2×5×13×19×4457543
1ttkjq=2^2×2×3×458755463
1ttqkq=2^3×2^2×61×83×67957
1ttqqt=2×5×j×151×277×2393
1tttkq=2^3×2^3×7×3259×7541

感想

生成AIはとても便利です。自分はパソコンなどの機器は仕組みがよくわからず、変なエラーとか出ても対応できないので、すごく苦手であり、紙とペンが1番だと思ってますが、やっぱり便利なのでさまざまな電子機器に囲まれて生活しています。今でも生成AIは、物理などの問題の解決の参考や翻訳、書体・形式や表現の改善などに利用していますが、今回プログラムの生成もうまくいくことがわかったので、これから素数大富豪でもより活用することになりそうです。

これからAIなどにより素数・合成数探索の幅が広がって色々な戦術などが見られるようになったら楽しいですね、皆さんもぜひ生成AIとか使ってみましょう！

アドカレの登録コメントに未来の素数大富豪についてと書きました。予定では違う内容のものを出すつもりだったので、今後差し替える可能性がありますが、この記事もちょっと未来の話と言えなくもない、という気もしますね。

*1:ところで、今日の合成数大富豪 Advent Calendar 2025の記事も6枚出しについてでした！

*2:あとは超多枚出しとか。

*3:合成数大富豪などでよく使われている表現では(18,6)枚出し

*4:さしみさんによって提案された、ユニークスキルの一つと言えます。

*5:例えばmickeyさんの記事やさしみさんの記事で使いやすいものがまとめられています。さしみさんも生成AIを使っている模様。

*6:合成数大富豪の記事だったら(11,5)→(14,5)という夢の組み切り((11,5)はにばいめーかー)のための(14,5)合成数探索だったかもしれません。今度やるかも？

*7:なんと10万文字増えました

nばいめーかーに挑戦しよう！

この記事は合成数大富豪 Advent Calendar 2025の10日目の記事です。昨日の記事はまだ埋まっていませんが、今後埋まる予定です。*1

nばいめーかーと因子法

この記事ではnばいめーかーという合成数出しについて解説していきます。nばいめーかーとは、手札から、nの素因数分解と素数p、そしてnpを見つけ、n×p=npという合成数出しをすることで、特に手札を全て使うものに言うことが多いです。n=2の場合は、にばいめーかーと呼ばれ、これについてはこちらの記事でやり方をより詳しく解説しており、この内容を前提にこの記事は書かれています。この記事では、n=2のほか、n=3,Jの場合を中心に解説していきます。

2・3・Jばいめーかーの例から

まずは例題をいくつかみてみましょう。

①（にばい）

手札：222555689QQ

答え：2×256Q9=5Q258

②（にばい）

手札：2244556779J

答え：2×56477=J2954

③（3ばい）

手札：123467889KK

答え：3×1627K=488K9

④（Jばい）

手札：123348899TJ

答え：J×82813=9T943

これを見ると、とても初めの11枚から合成数出しの形を作ることは難しく思えます。そこで、にばいめーかーでは、答えの(p,2p)の組を、次のような2倍(基本)因子に分割して考えることがことが良い方法なのでした。

①

(256Q9,5Q258)=(2,5)+(56,Q)+(Q,25)+(9,8)

②

(56477,J2954)=(5,J)+(6,2)+(4,9)+(7,5)+(7,4)

同様に、n倍(基本)因子というものを考えることで、残りも次のように分解できます。

③

(1627K,488K9)=(1,4)+(6,8)+(2,8)+(7K,K9)

④

(82813,9T943)=(φ,9)+(82,T)+(8,9)+(1,4)+(3,3)

このように、左辺(大きなn倍因子)を考えるかわりに、右辺(小さなn倍因子の組み合わせ)を作ることは、nばいめーかーの基本的なアプローチとなります。

因子法の限界

ところが、3倍因子、J倍因子と見ていくとわかるように、nが大きくなるにつれて繰り上がりの種類が多くなり、考えるべき場合の数が増えるため、因子に分けるのが難しくなっていきます。そのため、nが2より大きい時、nばいめーかーは、因子法のみでは今のところ現実的でないとされています。

全探索可能性・効率性、いくつかの工夫

nばいめーかーの解法は、全ての場合を全探索可能であり、かつ人力である程度の時間内にできることが重要です。因子法では後者を満たすのが難しいということがわかりました。

そこで、nばいめーかーの実現のために、因子法をベースとしつつ、いくつかの工夫が考えられています。それを今から見ていきましょう。ここに挙げられていない、または見つかっていない工夫も多くあると思われるため*2、それらについては、今後の研究が待たれます。

絵札・桁数への着目

n=2,3,Jかつ手札が11枚の場合を考えます。絵札が、11枚からnをのぞいた10枚のうちm枚ある時、pとnpの桁数の合計は10+mとなります。pとnpの桁数の差は0,1なので、*3mを見ることでp,npの桁数がわかります。n倍因子の枚数*4に着目すると、絵札の使い方が限られるので、考えるべき場合を減らすことができます。

閉因子法

これは主に、にばいめーかーで有効な工夫で、こちらの記事で解説した内容です。n倍基本因子のみを考えるのではなく、因子の並び替えが容易なように、いくつかの基本因子を組み合わせて、繰り上がりを左右で等しくしたn倍閉因子を作る方法でした。しかし、にばいめーかーでは2つ以下の基本因子から閉因子を作ることができますが、3ばいめーかーでは3つ、一般にnばいめーかーでは最大n個の基本因子を組み合わせる必要があり、実用的ではありません。

一桁目から考える

手札をいくつかの因子に分け、並び替えるのがにばい、3ばいめーかーの基本的な方法ですが、適当に分けてしまうと、繰り上がりが噛み合わないことがままあります。Jばいにもなると、ほとんど不可能と言って良いでしょう。そこで、一桁目に配置するn倍因子を始めに作り、続く桁のn倍因子を作ることを繰り返す、という方法があります。この方法では、繰り上がりが毎回確定するため、考えやすいです。

手札の偏り

ある数を使う因子は、nばいめーかーごとに限られています。そのため、ある数が顕著に多く*5手札にある時、その使い方が因子の作り方に制限を与えることがあります。このような制限から考えるのも良い方法です。

nごとの特徴

例えばn=3では、3,pともに奇数であるため、一桁目の因子は必ず奇数2つの組になります。他にもn=11では、11の倍数には偶数桁の数の和と奇数桁の数の和の差が11の倍数になるという性質があるため、一桁目から因子を組んでいくと最上位桁が確定する、などということもあります。このような、nごとの特徴を掴んでいくと、nばいめーかーが少しやりやすくなります。

応用とmod 3

最後に、少しの応用でn=5,30,110の場合にもnばいめーかーが可能となることを見ていきます。

n=5

5×p=5pの形を作ることが目標ですが、pは奇素数として良いため、p=2m+1とおけます。すると、5×(2m+1)=10m+5となりますが、右辺はmという数の末尾に5を付け加えたものです。よって、手札から5を2枚除いて、残りで(m,2m+1)という2倍因子を作ることで5ばいめーかーができることがわかります。*6

n=30

2×3×5×p=30pの形を作ることが目標ですが、ジョーカーがないものとすると、右辺の下2桁はT(10)であるため、p=10m+7とおけることがわかります。*7すると右辺は、300m+210=100(3m+2)+10となり、3m+2という数の末尾にTを付け加えたものになります。よって、手札から2,3,5,7,Tを除き、残りで(m,3m+2)という3倍因子を作ることで30ばいめーかーができることがわかります。*8

n=110

2×5×J×p=110pの形を作ることが目標です。右辺の下2桁がやはりTであることから、p=10m+1とおけ、110p=1100m+110=100(11m+1)+10となります。よって、手札から1,2,5,T,Jを除き、残りでJ倍因子(m,11m+1)を作れば良いです。

同様にして、任意の奇数kに対し、kばいめーかーができるとき、10kばいめーかーができることがわかります。*9

mod3

nばいめーかーができるかどうかが、手札のmod3*10を見ることでわかることがあります。*11例えばn=2,5,Jでは、手札のmod3は2です。またジョーカーがある時、ジョーカーが取る数の候補を絞るのにも役立ちます。

おわりに

具体例など今後追加していきたいと思ってます。n=2,3,5,7,J,Kの場合について、こちらのサイトで練習できます。

みなさんも合成数大富豪*12でぜひnばいめーかーにチャレンジしてみましょう！特に、にばいめーかーは現実的でおすすめです。そして、新しい解法や工夫を探していきましょう！

明日の記事はまだ埋まっていませんが、やはり今後埋まるでしょう、と書いていたところ、3TKさんが「オンラインでの一人回し練習」について書かれるようです。楽しみですね〜。

*1:25日の所に「今年も全部埋まったね」と書いてあるため。

*2:特にn=2,3,J以外のnに対しては、ほとんど考察されていないと言えます。

*3:n=Jかつ特殊な場合に2となることもありますが一旦無視します。

*4:これも2倍因子の時と同様に定義します。

*5:または少なく

*6:ただし、2m+1が素数とならねばなりません。

*7:7は3のmod10での逆元です！

*8:ただし、10m+7が素数とならねばなりません。

*9:5は偶数！

*10:全てのカードの数を総和を3で割った余りのこと。

*11:mod9でより精密にできますが、ここでは簡単にmod3で考えます。

*12:素数大富豪でも、あるいは詰め合成数大富豪のようなパズルとして

素数大富豪のリアルイベントに初参加した話

この記事は、素数大富豪 Advent Calendar 2025の7日目の記事です。昨日の記事は、3TKさんによる、札幌杯の参加報告でした。今日の記事と、素数大富豪の大会の参加記という点で共通していますね。色々な形式の対戦が行われていて面白そうです、いつかやってみたい！

はじめに

素数大富豪を始めて3年が経ち*1、オンライン上だけでなく、素数大富豪のリアルイベントに参加することを今年の目標としていました。その中で、最も大きな素数大富豪のリアル大会である、マスプライム杯に参加することができたので、今回は主にその記録を書いていきたいと思います。*2

参加まで

マスプライム杯では同時にマスぴよ杯という初心者向けの大会も行われるのですが、流石に3年も(主に競技)素数大富豪プレイヤーをしているので、そちらには参加しづらいと思い、マスプライム杯だけの参加としました。ただ、1年のブランクもあるため、何もせずただ参加するだけではいけないだろう、ということで、素数を暗記する会を企画し、また素数大富豪オンラインにもときどき顔を出して感覚を取り戻すことにしました。

夏の素数大富豪暗記会

素数大富豪の実力を上げるには、実戦だけでなく、素数を覚えることが欠かせません。しかし、多くのプレイヤーが、集まって対戦するだけで満足してしまい、なかなか実力を上げることができないでいる場合が多いです。かくいう自分もこの傾向が強く、新しい素数を覚えていない状況が続いていました。そこで、ただ素数を暗記するだけの会に需要があるのではないかと考え、マスプライム杯までの1ヶ月間、「夏の素数大富豪暗記会」を企画しました。

会はdiscord上で開かれ、そこでは有用な素数や知識を共有しつつも、基本的には個人で自由に素数を調べたり暗記したりする、という形で、週2度土日の夜に1時間の活動が行われました。毎回4人くらいは参加者がいました。

マスプライム杯後は、会を続けることはありませんでしたが、自分の主催でなくとも、色々な大会の前などに、同じような会があったら良いな、と思います。今回見つかった課題点である、

• 基本個人作業なのもあり、集まっている感覚があまりないこと
• 1時間という毎回の時間が思いの外短かかったこと

などについても、上手い方法が見つかると良いですね。

覚えたもの

自分がこの会で覚えた中で、9枚18桁と、96から始まる7枚12桁は大会後の今も役立っていると感じます。特に96の方は、さしみさんの記事の方法を使って語呂合わせも多く考えたので、素数表を以下に示しておきます。また、9枚18桁はmickeyさんの記事のtierSまでを主に覚えました。

96-

kkqkj

kqqqk

kqjqk

kqjqj

kqjtk

kjjjk

qkktk 白トマト

qqtjj 切りまくる

qtqqk チラチーノ

jjtkj

jttkj 疑おう

jttjj

tqqtj マキシマム

tqtkj ありがとう

ttkkk バーコード

ttjtj パラグラフ

tttqj パラダイス

上手い語呂合わせが見つからなかったものは気合いで覚えました。

マスプライム杯当日

マスプライム杯参加にあたってのアンケートで答える内容は結構迷いました。にばいめーかー*3をしたいなどと書いた気がしますが、結局大会中にばいめーかーを見ることはありませんでしたね。

会場に入ると、ほとんど初対面ながら、オンラインでは知り合いの方が多くいてほっとしていましたが、マスぴよ杯に参加する初心者の方や観戦者の方など、本当にはじめましての方も多く、思ったより幅広い世代の人がいることに驚きました。

大会中は、プレイヤーと審判を担当していましたが、プレイヤーとしては予選1回戦でOTTYさんとあたり、残念ながら負けてしまった*4ことで暇になり、審判の仕事も主に予選だけで終わったので、残りは観戦したり、周りの人と自由に対戦したりしていました。マスプライム杯・マスぴよ杯共に、決勝に近づくにつれて観戦もとても盛り上がりました！特にマスプライム杯決勝は、一瞬も目が離せない展開でした。なんと、マスプライム杯の優勝者、もりしーさんによる対談動画が5日の記事として上がっていますので、まだ見ていない方はぜひ見てみてください。

一方のマスぴよ杯の決勝といえば、優勝のけんさんはもちろん、ポラリスこまみさんの活躍も忘れてはいけません。素因数分解部員*5のひとりである、素数大富豪は初心者の、ポラリスこまみさんを誘った結果、マスぴよ杯に参加してもらうことができました。そして準優勝！すごい！

さらにマスプライム杯・マスぴよ杯決勝の観戦の裏話として、素数大富豪オンラインを使用して、オンライン観戦だったmickeyさんと素数大富豪をしながら観戦していました。素数大富豪オンラインを使用することで、現地には来ることができなかった人とも大会を楽しめるのが良いですね。大会に参加したかったけど現地に行けないという方、素数大富豪オンラインを覗いてみてください。大会の裏で集まっているプレイヤーがいるかも知れませんよ！

以上が自分のマスプライム杯参加記となります。運営の方々、参加者の皆さん、ありがとうございました。

素数大富豪で遊ぼう会in関東

もう一つ、リアルイベントの、素数大富豪で遊ぼう会in関東にも参加してきました。こちらは、マスプライム杯でも運営をしていらっしゃった、はなぶさん、ななみさんにより運営される会です。*6詳しい説明は素数大富豪で遊ぼう会in関東を見てもらうこととしますが、こちらは大会ではなくまったり素数大富豪を楽しむ会となっていて、参加者6人のうち初心者の方も2人おり、友人を誘って参加するのにも良い雰囲気でした。月に一度の開催ということで、あまりない対面での素数大富豪の機会が定期的に得られるようになっているのが嬉しいですね。

ローテーションでの対戦が盛り上がった他、LT*7の時間に、nばいめーかー*8についての話をさせてもらいました。この内容については、合成数大富豪 Advent Calendar 2025の方で10日の記事として書く予定なので、よければそちらも見ていってください。さらに関連して、詰合成数大富豪についての記事がはなぶさんによって5日に書かれているので、そちらもぜひ！

リアルイベントに参加してみて

対面での素数大富豪も、オンラインとは違った新鮮さがあり面白かったです。いつも通り全出しをして、増えた24枚のトランプの整理に苦労したのは良い思い出です*9。対戦相手の考えている雰囲気が伝わってくるのも楽しいところですね。

素数大富豪をやってみたいけれども、リアルイベントへ行くのはハードルが高いと思っている人へ

• まずはオンラインでの素数大富豪から始めてみましょう！素数大富豪オンラインには結構人もいます！
• いざリアルイベントに参加する、という時はぜひ、知人や友人を誘ってください！

ということをこの記事で伝えられたら嬉しいです。

明日の記事の内容は、はちさんによる「倍数判定法」です！素数大富豪では、特に素数に出会いに行く時などに様々な倍数判定法を用いて計算することがあります。実用性の面でもとても楽しみですね！

*1:内1年はほとんど活動していませんでしたが

*2:今年の様子はこちらから見ることができます。

*3:詳しくはこの記事などをご覧ください。

*4:じゃんけんに負け、1戦目は順当に負け、2戦目は先手で出した8枚出しにHNPで返され、ストレートの負けとなりました。

*5:mickeyさんによって作られたdiscordチャンネル「素因数分解部」の参加者で、素数あつめなどの素数に関係するゲームアプリのプレイヤーたちのこと。

*6:従ってお二人には今年本当にお世話になりました。運営いつもありがとうございます。

*7:何の略かはよくわからない。

*8:合成数出しの一種で、pを素数として、n×p=npとしてnpを出すこと。

*9:未だにどうすれば扱いやすいのかわかっていません。

にばいめーかーで遊ぼう！

きっかけ

素数大富豪 Advent Calendar 2022の22日目のはちさんによる記事HNC入門にて、はちさん自身が編み出し大会などで使っていた、n=2×p型の合成数出しを作る手法が解説されました。

これを読んだ私は、やってみようと思い素数大富豪オンラインに出向きますが……全然できそうな手札が来ません。確率が1%ぐらいと思われるので、これは当然でした。そのためあまり練習できない状況が続いていました。

ところが先日！さしみさんによりこれを練習できる環境、にばいめーかーが作成されました！これは練習するしかないと何度かやってみたところ、だんだんコツがつかめ、遂には10問を3分ほどでクリアできるまでになりました。 そこでこの記事で、コツのようなものを紹介してみたいと思います。

用語・表記

はちさんの記事で、数の組(p,n)というものが使われていますが、これをこの記事でも使用し、2倍因子と呼ぶことにします。そしてpに使われるカードの枚数とnに使われるカードの枚数の合計を、2倍因子(p,n)の枚数と呼ぶことにします。

また2倍因子に対し、上への繰り上がりと下からの繰り上がりの有無を有を1,無を0として(00),(01),(10),(11)と表記し分類します。後に(20),(21)という分類も出てきます。さらに、(00),(20)と(11)の2倍因子を閉じた2倍因子ということにし、他を開いた2倍因子ということにします。*1

主な内容

2倍因子を閉じる

はちさんの記事にあるように2倍因子を最小の単位で作っていくと、繰り上がりの把握に時間がかかってしまいます。そこで、2倍因子を閉じて考えることがスピードアップにつながります。2倍因子を閉じるとは、単に2倍因子を作るのではなく、閉じた2倍因子に限定して手札を分割していくことです。*2

ここで繰り上がりについて、a,b,c,dを0と1のいずれかとして、２つの2倍因子P(ab),Q(cd)がこの順に並べられるのはb=cのときで、並べてできる2倍因子PQはPQ(ad)となります。そのため、(00)の2倍因子は繰り上がりのない2つの2倍因子の間に、(11)の2倍因子は繰り上がりのある2倍因子の間に、それぞれ幾つでも並べることができ、間に入れる前の２つの並んだ2倍因子をPQ(ab)とすれば、間に入れた後の2倍因子も(ab)となり、繰り上がりに影響がないことがわかります。

さらに、(01)*3の2倍因子を作ってしまったらすぐに(10)の2倍因子を作り、並べることで(00)*4の2倍因子として扱うことができます。(10)を作ってしまっても同様です。これを意識することで、2倍因子を全て閉じたものとして考えることができ、繰り上がりの把握に困らなくなります。

かなりわかりにくい説明になってしまいましたが、要するに(1,3)ではなく(17,34)のようにして考えるということです。この例からもわかるように、2桁ぐらいのものしか出てこないので簡単に閉じた2倍因子を作れると思います。今後表をつける予定です。

追記(2/22)：はちさんが閉じた2倍因子の表を作ってくださいました。組み替えも書いてあり、便利です。

はちさんによる2倍因子表

下一桁用の2倍因子を先に作る

にばいめーかーでは2×p=nのpは13までの素数で割れない必要があるので、当然奇数でないといけません。先にpが奇数の閉じた2倍因子(p,n)を作っておくとスムーズにいくと思います。

絵札0枚の時

ここからは絵札の枚数ごとの考え方(パターン)を書いていきます。絵札0枚の時は特に注意することはありません。今後のために予告しておいた(20),(21)の2倍因子について書きます。*5

• (20)･･･(5,T),(6,Q),(55,1T),(56,1Q),(6,12),(7,14),(8,16),(9,18)
• (21)･･･(5,J),(6,K),(55,1J),(56,1K),(5,11),(6,13),(7,15),(8,17),(9,19)

これらは先頭にしか置けない2倍因子であることが重要な点です。*6

絵札1枚の時

1枚の絵札を2倍因子に組み込むとき、はちさんの記事にある2倍因子のみで考えると、奇数枚の2倍因子になってしまうので、にばいめーかーでは11枚を組む必要があることから上手くいきません。そこで、(20)と(21)の2倍因子を使う必要があります。具体的には次の2パターンがあります。

• 絵札を使う(20),(21)の2倍因子*7が先頭に置かれ、あとは普通に組む
• 絵札を使わない(20),(21)の2倍因子*8が先頭に置かれ、絵札を含む奇数枚の2倍因子も途中に使われる

多くの場合は前者のパターンで解決します。前者でうまくいかず、1や2が多い時に後者を疑ってみてください。*9

絵札2枚の時

これも2パターンがあります。

• 絵札を2枚使う2倍因子*10ができる
• 奇数枚の2倍因子が２つ使われる

Tがない時は必ず後者で組むことになりますね。

絵札3枚の時

この場合は絵札が1枚の時と2枚の時の方法を合わせて考えます。絵札1枚の時の後者のパターンは枚数からほぼ出ないと考えられるので少し単純です。

他の細かいコツ

• 絵札から決めたほうがよいと書きましたが、更に大きい数字(右側)から決めていくとスムーズにできます。
• 絵札1枚時、1が(多く)ある場合は(5,T)などではなく(55,1T)などを使ったほうが速くできることが多いです。

今後も追記していきます。*11

実践例

• 122456889TK

まず絵札(2枚)から決める+閉因子にしたいので、(T69,2K8)とします。残りは1458ですが、(4,8),(5,1)とすれば良いことがわかるので並び替えて(4T659,82K18)となります。(5,1)には繰り上がりがあることに注意しましょう。

• 2555778999J

絵札が1枚なので(59,J8)とします。すると557799が残りますが(7,5),(7,5),(9,9)とできるので並び替えて(57799,J5598)などとできます。最初の閉因子で残りを挟んでいるイメージです。

• 11233445777

絵札がないのですぐに決まるものがなく、逆に難しいです。とりあえず閉因子を作るしかないので(17,34)とすると、残りは134577ですが、(37,74)と(5,1)が見えたので(17357,34714)などとできました。

• 222555689QQ

絵札が2枚ですがTがないので(Q56,25Q)としてみます。すると2589が残り、(29,58)とできるので(Q5629,25Q58)となりました。が、これは1001チェックを通りません。そこでやり直して(256,5Q)と(Q9,258)を作るとうまくいったので(256Q9,5Q258)で正解です。

• 22334566679

(46,92)とすると335667が残り、(3,6)×2と(7,5)なので(47633,95266)とできました。閉因子を見つけるのは行き当たりばったりで、(46,92)でだめだったら(36,72)…などとして探します。

• 2244556779J

(57,J4)とすると245679で(46,92),(7,5)が上手くいかないのでやり直し。(56,J2)として445779は(47,94),(7,5)で(56477,J2954)などとできて成功です。

• 11222235566

(26,52)としてみると112356が残り、(16,32)とはせず(5,1),(3,6),(1,2)とすることでうまくいきます。はちさんの閉因子表にも組み替えとして載っています。(25631,51262)などが答えです。

• 1233455668T

まず(55,1T)を作ります。できない場合もありますが、(5,T)より考えやすくなるのでおすすめです。残り334688は単純に(3,6),(4,8)×2にできます。(55433,1T866)などとして正解です。

• 23444777789

(39,78)は444777となりできません。(37,74)として447789が残り(47,94),(8,7)とできました。(37487,74974)などです。

• 12234456779

(47,94)とすると123567で(16,32),(7,5)または(36,72),(5,1)などとできますね。(16,32)も(1,2),(3,6)と組み替えられます。

• 1112225566K

(566,1K2)とすると1125が残るので(1,2),(5,1)として(55661,11K22)とできました。(5,1)は前に付けられることに注意です。

どうでしょうか？慣れてくるとどんどん思考が簡略化して速くできるようになると思います。実践あるのみです！

まとめ

この記事で紹介したコツは以下の3点でした。

• 2倍因子を閉じる
• 下一桁用の2倍因子を作っておく
• 絵札の枚数に注意する

これがみなさんのにばいめーかー*12に役立てば嬉しいです。まだやったことがない人も、ぜひ遊んでみてください！

*1:よく略して(2倍)閉因子,開因子と呼ばれます

*2:繰り上がりをうまく把握することでもあります。

*3: もしくは(21)

*4:左に並べたら(11)ですが、全体で１つの(00)の2倍因子にすることを考えるとこれはあまり使われません。

*5:実は、記事公開当初は(55,1T),(55,1J),(56,1Q),(56,1K)の4つは見逃してしまっていました。これが必要な場面はかなり少ないと思います。

*6:というのは厳密には間違いで、(5,T),(5,J),(6,Q),(6,K)以外は(11)を前に置くことができます。(が、結局新しい(20),(21)ができます。)とはいえこの認識は並び替えに役立ちます。このことも当初は見逃していました。

*7: (5,T),(5,J),(6,Q),(6,K),(55,1T),(55,1J),(56,1Q),(56,1K) 

*8: (7,15)など

*9:後者の例：1123566889Kは(8,16),(56,K)を作り、81569×2=163K8などとしないとうまくいきません

*10: (T6,2Q)など

*11:実践例も今後追加していきます。

*12:にばいめーかーをプレイすること